Triangolo isoscele 999

[Kocour]

P è un punto interno al triangolo ABC, le rette AP, BP, CP intersecano i lati opposti BC, CA, AB nei punti D, E, F rispettivamente. Si sa che $ A\hat{P}B=90° $, AC=BC e AB=BD. Inoltre BF=1 e BC=999. Calcolare AF.

[Kocour]

Al triangolo ABC si può applicare il teorema della bisettrice e quello di ...

[enomis_costa88]

Il triangolo DBA è isoscele.
PB è altezza quindi è anche bisettrice dell’angolo $ \hat{CBA} $.

$ \displaystyle AF=x $
$ \displaystyle DB=AB=x+1 $
$ \displaystyle CD=999-x-1 $
$ \displaystyle CE=999-AE $

Per il teorema della bisettrice:
$ \displaystyle AB*EC=EA*CB $
$ \displaystyle (x+1)(999-AE)=EA(999) $
$ \displaystyle EA=\frac{999(x+1)}{999+x+1} $
$ \displaystyle CE=999(1-\frac{x+1}{999+x+1})=\frac{999^2}{999+x+1} $

Per Ceva:
$ \displaystyle EC*DB*FA=AE*CD*BF $
ovvero:
$ \displaystyle \frac{999^2}{999+x+1}*(x+1)*x=(999-x-1)\frac{999(x+1)}{999+x+1} $

ovvero dividendo per $ \displaystyle \frac{999(x+1)}{999+x+1} $.

$ \displaystyle999x=999-x-1 $ e:
$ \displaystyle x=\frac{499}{500} $