Domanda 1:
Sia $ M = \left \{ \begin{pmatrix} {{a}} & {{0}} & {{a}}\\ {{0}} & {{1}} & {{0}}\\ {{a}} & {{0}} & {{a}}\\ \end{pmatrix}\right \} \subset R^{(3,3)} $ , con $ a \in R, a > 0 $. Dire se M è sottogruppo rispetto alla moltiplicazione righe per colonne del gruppo delle matrici invertibili di $ R^{(3,3)} $
Risposta: NO. M è formato da matrici NON invertibili (il determ. è nullo indipendetemente da a), quindi non può essere sottoinsieme del gruppo di matrici invertibili di $ R^{(3,3)} $
Domanda 2:
Sia f un endomorfismo di $ Q^3 $ così definito:
$ f(e_1) = e_1 + 3e_2 $
$ f(e_2) = 2e_1 + 3e_2 $
$ f(e_3) = e_1 + e_2 + e_3 $
Dire se f ha tre autovettori linearmente indipendenti.
Risposta: NO
La matrice associata all'endomorfismo è:
$ A = \begin{pmatrix} {{1}} & {{2}} & {{1}}\\ {{3}} & {{3}} & {{1}}\\ {{0}} & {{0}} & {{1}}\\ \end{pmatrix} $
Il determinante di $ A - \lambda I $ è $ (1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-3) $.
Gli autovalori sono $ 1, 2+\sqrt{7} , 2-\sqrt{7} $ .
Quindi abbiamo un solo autovettore su $ Q $.
Domanda 3:
Siano $ R = \{(1,3),(4,1),(5,2),(3,2)\} \subset Z_7 \times Z_3 $ e $ S = \{(0,6),(1,1),(1,2),(2,3)\} \subset Z_3 \times Z_7 $. Dire quanto vale $ |R \circ S| $
Risposta: 5. $ |R \circ S| = \{(1,6),(4,2),(4,5),(3,3),(5,3)\} $.
Ho sbagliato qualcosa?
Mauro
