Quesito: L'anello $ C \times R $ ha divisori dello zero?
Risposta: NO. L'anello è formato dagli elementi $ (a, b) $, con $ a \in C $ e $ b \in R $. Un divisore dello zero è un elemento $ (c, d) $ tale che $ (a, b)(c, d) = (ac, bd) = (0,0) $, con $ a,b,c,d \not = 0 $. Notiamo subito che $ bd = 0 \Rightarrow b=0 $ o $ d=0 $, quindi l'anello non ha divisori dello zero.
È giusto il mio ragionamento?
Mauro
Ha divisori dello zero?
mauro742 ha scritto:Quesito: L'anello $ C \times R $ ha divisori dello zero?
Risposta: NO. L'anello è formato dagli elementi $ (a, b) $, con $ a \in C $ e $ b \in R $. Un divisore dello zero è un elemento $ (c, d) $ tale che $ (a, b)(c, d) = (ac, bd) = (0,0) $, con $ a,b,c,d \not = 0 $. Notiamo subito che $ bd = 0 \Rightarrow b=0 $ o $ d=0 $, quindi l'anello non ha divisori dello zero.
...in tal caso, temo che il nostro Mauro si sbagli malamente.EvaristeG ha scritto:Mah, C saranno i complessi, R i reali, le operazioni quelle componente per componente.
Al posto suo, terrei sotto controllo le coppie (1,0) e (0,1), non prima tuttavia d'aver chiarito a me stesso la corretta definizione di un divisore dello zero in un anello.Penso che sulla definizione di divisore dello zero non ci possano essere grosse ambiguità, quindi ...
$ a \in A $ (con A anello) si dice divisore dello zero (o zerodivisore) se esiste $ b\in A\setminus\{0\} $ tale che $ ab=0 $ .. se l'anello non è commutativo si distingue tra zerodivisori destri e sinistri, con l'ovvio significato.
$ a \in A $ (con A anello) si dice divisore dello zero (o zerodivisore) se esiste $ b\in A\setminus\{0\} $ tale che $ ab=0 $ .. se l'anello non è commutativo si distingue tra zerodivisori destri e sinistri, con l'ovvio significato.