SNS 2000
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Una certa quantità, Q, che può assumere valori sia positivi sia negativi, a intervalli regolari di tempo si incrementa di una unità con probabilità 1/4, si decrementa di una unità con probabilità 1/4 o resta invariata con probabilità 2/4. Supponendo che Q sia inizialmente nulla, si determini una formula per la probabilità $ P_{n,k} $ che dopo n intervalli di tempo Q valga k unità (quindi $ P_{1,-1} = P_{1,1} = 1/4, P_{1,0}= 2/4 $).
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HomoPatavinus
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HomoPatavinus
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scusami, risolvendo l'esercizio ho capito cosa volevi dire, Provo a spiegarlo meglio;
la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N . ovviamente chi conosce il binomio di newton può esprimere il risultato in maniera molto più elegante.
la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N . ovviamente chi conosce il binomio di newton può esprimere il risultato in maniera molto più elegante.
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Simo_the_wolf
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OT terribile, ma comunuque..
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[tex]\lambda[/tex]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
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Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.
Ora, chiamiamo $ P'_{n,k} $ la probabilità che Q' valga k al tempo n.
Di certo, poichè n+k è due volte il numero degli incrementi positivi, n e k devono avere la stessa parità, altrimenti non è possibile che Q' valga k al tempo n. Inoltre, il sistema
$ p_++p_-=n $
$ p_+-p_-=k $
ha una sola soluzione per $ p_+,p_- $:
$ p_+=\dfrac{n+k}2 $$ p_-=\dfrac{n-k}2 $
Se questi due numeri sono interi, possiamo dire che la probabilità voluta è
$ P'_{n,k}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n+k}2}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n-k}2} $
in quanto basta scegliere in quali degli n istanti di tempo fare un passo avanti (o indietro) e nei restanti siamo obbligati a farlo nell'altra direzione.
Ora, abbiamo detto che $ P_{n,k}=P'_{2n,2k} $ e dunque
$ P_{n,k}=\dfrac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} $
Ora, chiamiamo $ P'_{n,k} $ la probabilità che Q' valga k al tempo n.
Di certo, poichè n+k è due volte il numero degli incrementi positivi, n e k devono avere la stessa parità, altrimenti non è possibile che Q' valga k al tempo n. Inoltre, il sistema
$ p_++p_-=n $
$ p_+-p_-=k $
ha una sola soluzione per $ p_+,p_- $:
$ p_+=\dfrac{n+k}2 $$ p_-=\dfrac{n-k}2 $
Se questi due numeri sono interi, possiamo dire che la probabilità voluta è
$ P'_{n,k}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n+k}2}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n-k}2} $
in quanto basta scegliere in quali degli n istanti di tempo fare un passo avanti (o indietro) e nei restanti siamo obbligati a farlo nell'altra direzione.
Ora, abbiamo detto che $ P_{n,k}=P'_{2n,2k} $ e dunque
$ P_{n,k}=\dfrac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} $
Scusami ma non capisco questo passaggio...EvaristeG ha scritto: Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.
La probabilità che la quantità Q dopo due intervalli di tempo sia -2,-1,0,+1,+2 è (rispettivamente) 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 (a meno di cavolate).
Mi sembra di capire che tu assumi che dopo un doppio intervallo di tempo la quantità non possa essere nulla.
Potresti spiegarmi?
Semplicemente non hai capito cosa si raddoppia e cosa si dimezza.
La quantità che definisco io non guarda Q ogni 2 tempi, guarda Q ogni mezzo tempo.
Se tu consideri una quantità come quella che ho descritto io, dopo 2 unità di tempo, avrai 1/4 di probabilità che sia aumentata di 2, 1/4 di probabilità che sia diminuita di 2, 1/2 di probabilità che sia rimasta invariata.
La quantità che definisco io non guarda Q ogni 2 tempi, guarda Q ogni mezzo tempo.
Se tu consideri una quantità come quella che ho descritto io, dopo 2 unità di tempo, avrai 1/4 di probabilità che sia aumentata di 2, 1/4 di probabilità che sia diminuita di 2, 1/2 di probabilità che sia rimasta invariata.