2n-agoni, triangoli e angoli

[darkcrystal]

Non credo di averlo trovato su questo forum, almeno in questa forma...
Dato un poligono regolare di 2n lati, determinare la probabilità che scelti a caso 3 vertici di detto poligono, essi formino un triangolo
* rettangolo
* acutangolo
* ottusangolo

Ciao!

[enomis_costa88]

Hum..questo problema mi ricorda qualcosa (quel problema era con 2n+1 però)

Sia O il circocentro del triangolo (e del poligono).

Scelti a caso 3 vertici il triangolo formato è:
rettangolo se O appartiene ad un lato del triangolo;
acutangolo se O è interno al triangolo;
ottusangolo se O esterno al triangolo;

Per essere rettangolo: devo avere scelto un vertice e il vertice diametralmente opposto.
Le coppie di vertici diametralmente opposti sono n.
Poi posso scegliere il terzo vertice in (2n-2) modi diversi.

I casi favorevoli sono: $ {2n\choose3} $.

Quindi la probabilità che sia rettangolo è:
$ \frac{n(2n-2)}{{2n\choose3}} $

Per essere ottusangolo: scelti 3 vertici (nominati ordinatamente in senso orario A,B,C) allora esisterà almeno un vertice (WLOG A) t.c. B e C stiano sullo stesso semipiano (WLOG il semipiano t.c. AB<AC) rispetto alla retta AO.

Se così non fosse infatti tutte e tre le rette congiungenti un vertice con O risulterebbero intersecare il lato opposto al vertice da cui partono.
Ma quindi O risulterebbe essere interno al triangolo, assurdo.

Inoltre se B e C stanno sullo stesso semipiano rispetto a AO allora è facile verificare che anche A e B staranno sullo stesso semipiano rispetto a CO (questo per la scelta del semipiano operata prima) e che A e C saranno in due semipiani diversi rispetto a BO.

Posso scegliere il primo vertice in 2n modi diversi.
Posso scegliere il semipiano in 2 modi diversi.
Posso scegliere gli altri due vertici in $ {n-1\choose 2} $ modi diversi.

A questo punto però ogni configurazione è contata due volte.
Esistono infatti due vertici t.c. la congiungente tra un vertice e il centro non sia incidente con il lato opposto a quel vertice.

Quindi la probabilità che sia ottusangolo è:
$ \frac{2n{n-1\choose 2}}{{2n \choose 3}} $

E' acutangolo nei rimanenti casi.
Di conseguenza la probabilità che sia acutangolo risulta:
$ 1- \frac{2n{n-1\choose 2}}{{2n \choose 3}} $ $ - \frac{n(2n-2)}{{2n\choose3}} $

[darkcrystal]

Ok mi quadra tutto... bravo!