Post ritiro dalla nonna 2 (potenze iterate)

[Boll]

Definiamo la successione
$ f_1(a)=a $
$ f_{n+1}(a)=a^{f_n(a)} $

Provare che comunque presi $ a,m\in \mathbb{N} $ con $ (a,m)=1 $ esiste $ v\in \mathbb{N} $ tale che comunque preso $ n $ naturale $ f_{n+v}(a) $ è costante modulo $ m $.

[HiTLeuLeR]

Per ogni b \in \mathbb{N}^+, poniamo innanzitutto P(b) = \{p \in \mathfrak{P}: p \mid b\}, e osserviamo che la tesi è evidente se m = 1. Ammettiamone quindi la consistenza per ogni intero i = 1, 2, \ldots, m, dove m \in \mathbb{N}^+. Banalmente, esistono p, q \in \mathbb{N}^+ tali che \varphi(m+1) = pq, \gcd(a, p) = 1 e P(q) \subseteq P(a). Dunque è stabilito t \in \mathbb{N} tale che q \mid f_t(a). Inoltre p < m+1, e pertanto (per ipotesi induttiva) è determinano pure r \in \mathbb{N} tale che f_r(a) \equiv f_{n+r}(a) \bmod q, per ogni n \in \mathbb{N}. Posto pertanto v = 1 + \max(r, t), risulta f_{n+v} \equiv f_v \bmod m, per n \in\mathbb{N}. Da qui la tesi per induzione.

[EvaristeG]

Ricorderei a Hit che non è una gara a chi risolve prima i problemi ... visto inoltre che la sezione di teoria dei numeri è abbastanza affollata, non si può nemmeno attribuire una tale prontezza nello scriver la soluzione alla paura che la questione resti irrisolta... visto che l'utenza fondamentale di questo forum è fatta dai ragazzi delle olimpiadi, mi sembra abbastanza scortese sottrarre in questo modo ogni possibilità di esercizio (a parte ovviamente quelle che propone Hit stesso ...).

[HiTLeuLeR]

"C'è chi l'amore lo fa noia, chi se lo sceglie per professione. Boccadirosa né l'uno né l'altro, lei lo faceva per passione."

Che poi, visto il numero vertiginoso di problemi irrisolti che sono in giro a piede libero (se anche è vero che per la maggior parte sono stato io a proporli, che cavolo significa, me lo spieghi?!), mi sembra davvero discriminatorio, il senso di questo tuo intervento... :° Ad ogni modo, poiché voglio provarti la buona fede, imbianco subito la mia soluzione.

[Boll]

Comunque perfetto Hit, la mia stessa idea.