teorema del calcolo integrale

[Kripton86]

Salve a tutti,
devo dare un esame di analisi matematica e mi trovo in difficoltà a comprendere due teoremi.
Il primo è il teorema fondamentale del calcolo integrale con annessa dimostrazione mentre il mio secondo problema è la dimostrazione del teorema di Lagrange......

Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmeli in maniera comprensibile.........magari evidenziando alcuni passaggi che a me potrebbero non sembrare ovvi....

Grazie infinite

[EvaristeG]

Non è più sensato se tu ci dici quali passaggi delle rispettive dimostrazioni non capisci?
Ci sarà pure un punto in cui dici "Fin qui capisco, ma ora perchè dice così?".
Onestamente non penso che molti abbiano voglia di trascrivere le dimostrazioni dei due teoremi.

[MdF]

Procedo con il (mio prediletto) Teorema fondamentale del calcolo integrale, di Torricelli.

Ipotesi
Abbiamo una funzione $ $ f(x) $ $ continua in $ $[a,b]$ $.

Tesi
La funzione integrale di $ $ f(x) $ $ ammette sempre $ $ F'(x) $ $ e, in ogni punto di $ $]a,b[$ $, $ $ F'(x)=f(x) $ $.

Dimostrazione
Partiamo dalla definizione di derivata, applicandola alla funzione integrale:
$ $ F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} $ $
Succede che:
$ $ F(x+h)-F(x) = \int_a^{x+h}{f(t)dt} - \int_a^x{f(t)dt} $ $
(Purtroppo non posso riportare il grafico, prego chiunque possa di contribuire.)
Applicando le proprietà dell'integrale definito:
$ $ \int_a^{x+h}{f(t)dt} - \int_a^x{f(t)dt} =$ $
(proprietà di additività) $ $ = \int_a^x{f(t)dt} + \int_x^{x+h}{f(t)dt} - \int_a^x{f(t)dt} = $ $
$ $ = \int_x^{x+h}{f(t)dt} = $ $
(teorema della media) $ $ = (x+h-x) \cdot f(c) = $ $
$ $ = h \cdot f(c) $ $ con $ $ c \in ]x,x+h[ $ $
Tornando al rapporto incrementale, adesso possiamo sostituire di modo da semplificare:
$ $ F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot f(c)}{h} = f(x) $ $
perché, quando $ $ h \to 0 $ $, allora $ $ (x+h) \to x $ $ e, a maggior ragione con $ $ c_h \to x $ $, $ $ f(c_h) \to f(x) $ $.

Seguirebbero le conseguenze del Teorema, che sono quelle importanti per il calcolo integrale. Però non me la sento di contraddire oltre i moderatori, ergo sono pronto a trascriverla ove servisse.

[Nonno Bassotto]

Però non me la sento di contraddire oltre i moderatori, ergo sono pronto a trascriverla ove servisse.

Figurati, nessuno ti impedisce di metterti a scrivere paginate sul teorema di Torricelli. Il commento di EvaristeG serviva solo a moderare Kripton86 che faceva richieste un po' troppo vaghe, e rischiava di non ricevere risposte (di solito uno non ha voglia di fare quello che hai fatto tu).
Ciao

[MdF]

Diciamo che era un modo gentile di esprimermi, per soddisfare richiedente e moderatore.

[MdF]

Approfitto del tempo libero per esercitarmi col $ $ \LaTeX $ $, illustrando le Conseguenze del Teorema di Torricelli.

Sappiamo che:
$ $ F(a) = \int_a^a{f(x)dx}=0 $ $
Poiché è stato dimostrato che $ $ F(x) $ $ è una primitiva di $ $ f(x) $ $:
$ $ F(x) = \Phi (x) + k $ $
dove sappiamo che $ $ \Phi (x) $ $ indica una qualsiasi primitiva della funzione.
Se $ $ x=a $ $ abbiamo:
$ $ F(a) = \Phi (a) + k $ $
vale a dire (per quello visto prima): $ $ 0 = \Phi (a) + k $ $
e cioè $ $ k = - \Phi (a) $ $
Al contrario, se $ $ x=b $ $ abbiamo:
$ $ F(b) = \Phi (b) + k $ $
Il bello è che abbiamo ricavato $ $ k = - \Phi (a) $ $ (!), quindi $ $ F(b) = \Phi (b) - \Phi(a) $ $.

Al termine di tutto, poiché possiamo esprimere come $ $ F(b) $ $ la primitiva della funzione (rispetto ad $ $ a $ $), vale l'equivalenza:
$ $ \int_a^b{f(x)dx}= \Phi(b) - \Phi(a) $ $
utilissima soprattutto per calcolare il valore dell'area sottesa dalla funzione, nell'intervallo $ $ \left[ a,b \right] $ $.

[MindFlyer]

quando $ $ h \to 0 $ $, allora $ $ (x+h) \to 0 $ $ e, a maggior ragione con $ $ h = 0 $ $, $ $ c = x $ $.

Bel lavoro, ma qui non la puoi passare liscia!
Intanto è $ (x+h)\to x $, non $ (x+h)\to 0 $ (refuso, ok).
Ma quello che temo sia un errore concettuale sesquipedale è quel $ h =0 \Rightarrow c=x $. Sei d'accordo sul fatto che non abbia alcun senso?

[MdF]

Intanto è $ (x+h)\to x $, non $ (x+h)\to 0 $ (refuso, ok).

Refuso, correggo.

Ma quello che temo sia un errore concettuale sesquipedale è quel $ h = 0 \Rightarrow c=x $. Sei d'accordo sul fatto che non abbia alcun senso?

Intendevo dire che, se il punto $ $ c \in ]x,x+h[ $ $ e, facendo tendere $ $ h \to 0 $ $, l'intervallo diventa (al limite) $ $ ]x,x[ $ $, allora il punto $ $ c $ $ che vi appartiene non può altro essere che $ $ x $ $ (unico punto dell'intervallo.
Ammetto che è stata una semplificazione poco accurata, pardon.

[MindFlyer]

l'intervallo diventa (al limite) $ $ ]x,x[ $ $, allora il punto $ $ c $ $ che vi appartiene non può altro essere che $ $ x $ $ (unico punto dell'intervallo.

E' qui che sbagli, l'intervallo $ $ ]x,x[ $ $è vuoto, quindi x non gli appartiene!
Stai facendo un passaggio al limite non consentito e non necessario, ti basta dire che se $ h\to 0 $, allora $ c_h\to x $, e quindi per la continuità di f, anche $ f(c_h)\to f(x) $.
Ti consiglio di rivederti bene la definizione di limite e di correggere la dimostrazione del tuo primo post.

[OT] Una nota sul LaTeX: quando scrivi formule in LaTeX sul forum, non è necessario che usi i $.

[MdF]

Sarà meglio che me la riguardi, già. E corregga pure i miei appunti sbagliati, mannaggia: mi è stato spiegato così, il teorema, e non ho mai pensato che potesse essere scorretto. Quindi grazie.

[OT] Uso i $ perché sennò con Firefox non vedo le formule
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... c&start=30.

[hydro]

vediamo se io mi ricordo Lagrange invece...



Ipotesi

Sia $ f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ continua su un intervallo $ [a;b] $ e derivabile su $ (a;b) $

Tesi

Esiste un punto $ x_0 \in (a;b) $ t.c. $ \displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $

Dimostrazione

Scriviamo l'equazione della retta $ r(x) $ passante per i punti $ (a;f(a)) $ e $ (b;f(b)) $.
L'equazione sarà $ \displaystyle r(x)-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) $, ovvero, in forma esplicita, $ \displaystyle r(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot x + f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot a $

Ora consideriamo la funzione $ g(x) $ che esprime la "distanza" tra la funzione $ f(x) $ e la retta $ r $. Questa funzione sarà, ovviamente, $ g(x)=f(x)-r(x) $. Osserviamo, quindi, che la funzione $ g(x) $ rispetta il teorema di Rolle (secondo il quale se hai una $ f(x) $ continua sul compatto e derivabile sull'aperto e t.c. $ f(a)=f(b) $, allora esiste un punto $ c $ appartenente all'aperto per il quale si ha $ f'(c)=0 $), poichè $ g(x) $ è continua su $ [a;b] $ in quanto somma di funzioni continue e derivabile su $ (a;b) $ in quanto somma di funzioni derivabili. Inoltre $ g(a)=g(b) $, in quanto sia $ f(x) $ che $ r(x) $ passano per i punti $ (a,f(a)) $ e $ (b;f(b)) $ (puoi anche provarlo facendo i calcoli). Quindi per Rolle $ \exists c \in (a;b) $ t.c. $ g'(c)=0 $. Ma si ha che $ \displaystyle g'(x)=f'(x)-r'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ e pertanto $ \displaystyle 0=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $. Quindi il punto $ x_0=c $ è quello cercato.

[Nonno Bassotto]

Ma quello che temo sia un errore concettuale sesquipedale è...

Che cos'è un errore sequipedale? Un errore da un piede e mezzo (circa 45 cm)?

[Kripton86]

Grazie a tutti quanti! Sia per le vostre risposte molto chiare e anche per la rapidità con cui avete risposto.

Grazie molte!

[MindFlyer]

mi è stato spiegato così, il teorema, e non ho mai pensato che potesse essere scorretto. Quindi grazie.

Di niente!
Sono d'accordo con Marco Cammi quando dice che al liceo non andrebbe fatta l'Analisi. Non ho mai conosciuto un liceale (incluso me stesso) che abbia capito la definizione di limite, tanto da saper dimostrare i teoremini di Analisi 1 senza commettere i soliti errori di passaggi al limite insensati, etc.
Per questo mi infervoro sempre quando qualcuno fa una domanda di Analisi in MNE, e risponde un liceale. Succede che si crea più confusione di prima.

[OT] Sesquipedale: (4) agg. fig., di qcs., esageratamente grande, enorme, smisurato (De Mauro).

[MdF]

[
Sono d'accordo con Marco Cammi quando dice che al liceo non andrebbe fatta l'Analisi. Non ho mai conosciuto un liceale (incluso me stesso) che abbia capito la definizione di limite, tanto da saper dimostrare i teoremini di Analisi 1 senza commettere i soliti errori di passaggi al limite insensati, etc.
Per questo mi infervoro sempre quando qualcuno fa una domanda di Analisi in MNE, e risponde un liceale. Succede che si crea più confusione di prima.

D'accordo che faccio casino, ma in realtà sono Perito Industriale, altro che liceo!