Minimo Assoluto
Minimo Assoluto
In un compito scolastico mi si chiedeva di calcolare il min/max rel/ass della seguente funzione:$ z=x^2*e^x+y^2+2y $. Facendo gli opportuni calcoli otteniamo come candidati un punto A(-2;-1) e un punto B(0;-1). Poiché la matrice hessiana di f(A), o meglio il suo determinante, è negativo, il punto A è di sella, mentre il punto B è di min rel stretto, in relazione alla sua matrice hessiana definita positiva. Non esistono punti di max assoluto, situazione evidenziabile calcolando il limite per una variabile che tende ad infinito e tenendo l'altra costante. Circa i punti di min ass, è opportuno analizzare solo B. La procedura, sicuramente corretta, che avevamo studiato durante le lezioni è la seguente: $ f(x,y)>=f(B) $; dato che $ f(B)=-1 $, mediante opportuni passaggi otteniamo $ x^2*e^x+(y+1)^2>=0 $, che è sempre verificata. Dunque il punto è di min assoluto. Per dimostrare che il punto è di min ass, io ho invece utilizzato un altro procedimento, sfruttando i limiti:lim per x che tende a +-inf e y costante(otteniamo +inf e 0, sfruttando in quest'ultimo caso de L'Hopital) e viceversa. Poiché le funzioni in tre variabili si muovono su tutto il piano xoy (e non solo sull'asse x come per le funzioni in 2 variabili), ho anche calcolato i lim per x e y che tendono contemporaneamente a +inf (e -inf); x che tende a +inf e y a -inf e viceversa. Il risultato di tali limiti è sempre chiaramente +inf, cioè la funzione non assume mai un valore inferiore a f(B) per ogni x e y. Si dimostra cioè che in corrispondenza di (0;-1) la funzione assume il suo valore minimo. Voi che ne pensate? E' Corretta questa procedura o è da considerare errore? Grazie per l'attenzione.
CHI NON RISICA NON ROSICA, MA CHI TROPPO RISICA NULLA ROSICA
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MdF
Re: Minimo Assoluto
Purtroppo non ho fatto molto sulle funzioni in due variabili, però ti posso consigliare, per il calcolo dei loro limiti, di trasporre tutto in coordinate polari:pippo86 ha scritto: $ z=x^2 \cdot e^x+y^2+2y $
[...] ho anche calcolato i lim per x e y che tendono contemporaneamente a +inf (e -inf); x che tende a +inf e y a -inf e viceversa. Il risultato di tali limiti è sempre chiaramente +inf, cioè la funzione non assume mai un valore inferiore a f(B) per ogni x e y. Si dimostra cioè che in corrispondenza di (0;-1) la funzione assume il suo valore minimo.
$ $ x = \rho \cdot \cos \varphi $ $
$ $ y = \rho \cdot \sin \varphi $ $
e cioè, nel caso in questione:
$ $ \lim_{(x,y) \to \infty} x^2 \cdot e^x+y^2+2y = $ $
$ $ = \lim_{\rho \to \infty} (\rho \cdot \cos \varphi)^2 \cdot e^{\rho \cdot \cos \varphi}+(\rho \cdot \sin \varphi)^2 + 2 \rho \cdot \sin \varphi =$ $
$ $ = \lim_{\rho \to \infty} \rho^2 \cdot \cos^2 \varphi \cdot e^{\rho \cdot \cos \varphi}+ \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi + 2 \rho \cdot \sin \varphi$ $.
Ora, qui è pieno di matematici. Io non lo sono e mi fermo, magari ho pure già sbagliato. Però se non viene, nuovamente, $ $ \infty $ $, allora il limite (almeno quello che stiamo calcolando qui) dipende dalla direzione con cui ti avvicini ad esso. Di più non so, mi spiace.
a spanne direi che:
la funzione e' $ C^\infty $ (continua e derivabile e tale proprieta' vale per tutte le sue derivate) e la cosa torna quasi sempre utile.
Dato che $ ~ \forall x ~ x^2e^x \ge 0 $ e che $ ~ \forall y ~ y^2+2y \ge -1 $ allora $ ~ f(x,y)=x^2e^x+y^2+2y \ge -1 ~ \forall (x,y) $. Inoltre per $ ||(x,y)||_\infty>2 $ si ha che $ ~ f(x,y) >0 $.
Da cio' si deduce che punto di minimo e' localizato in $ ||(x,y)||_\infty \le 2 $.
l'uso delle coordinate polari non sempre e' utile e tal volta se non si sta' attenti ci si incastra alla grande.
PS:$ ||(x,y)||_\infty = 2 $ non e' altro che il quadrato di lato 4 centrato nell'origine con i lati paralleli agli assi ovvero i punti per cui max(|x|,|y|)=2
http://it.wikipedia.org/wiki/Norma_%28geometria%29
la funzione e' $ C^\infty $ (continua e derivabile e tale proprieta' vale per tutte le sue derivate) e la cosa torna quasi sempre utile.
Dato che $ ~ \forall x ~ x^2e^x \ge 0 $ e che $ ~ \forall y ~ y^2+2y \ge -1 $ allora $ ~ f(x,y)=x^2e^x+y^2+2y \ge -1 ~ \forall (x,y) $. Inoltre per $ ||(x,y)||_\infty>2 $ si ha che $ ~ f(x,y) >0 $.
Da cio' si deduce che punto di minimo e' localizato in $ ||(x,y)||_\infty \le 2 $.
l'uso delle coordinate polari non sempre e' utile e tal volta se non si sta' attenti ci si incastra alla grande.
PS:$ ||(x,y)||_\infty = 2 $ non e' altro che il quadrato di lato 4 centrato nell'origine con i lati paralleli agli assi ovvero i punti per cui max(|x|,|y|)=2
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Hmm il problema fondamentale non è calcolare i limiti, è quale limite hai scritto nel compito :
il limite che devi calcolare tu è per $ x^2+y^2\to \infty $, non separatamente in x e in y o con x=y o con x=-y; inoltre, il limite non ti dice niente sul fatto che il punto B sia massimo o minimo assoluto o relativo :
$ f(x,y)=(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-2 $
questa funzione vale 0 in zero ed è un minimo relativo ... il suo limite per x^2+y^2--->+inf è ovviamente sempre +inf, ma lo 0 non è un minimo assoluto.
Quindi il fatto che il minimo sia relativo e che il limite sia +inf non basta.
Inoltre, il limite è un'informazione che vale "abbastanza lontano dall'origine", mentre il massimo assoluto è una caratteristica che riguarda la relazione del punto con tutti gli altri, non solo con quelli abbastanza lontani.
il limite che devi calcolare tu è per $ x^2+y^2\to \infty $, non separatamente in x e in y o con x=y o con x=-y; inoltre, il limite non ti dice niente sul fatto che il punto B sia massimo o minimo assoluto o relativo :
$ f(x,y)=(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-2 $
questa funzione vale 0 in zero ed è un minimo relativo ... il suo limite per x^2+y^2--->+inf è ovviamente sempre +inf, ma lo 0 non è un minimo assoluto.
Quindi il fatto che il minimo sia relativo e che il limite sia +inf non basta.
Inoltre, il limite è un'informazione che vale "abbastanza lontano dall'origine", mentre il massimo assoluto è una caratteristica che riguarda la relazione del punto con tutti gli altri, non solo con quelli abbastanza lontani.
Ciao EvaristeG. Ho ben compreso quello che poco sopra hai scritto, ma io sono abbastanza sicuro del mio ragionamento. Partiamo,per capire meglioil tutto, da una funzione elementare: $ f(x)=x^2 $. Facendo finta di non sapere che è una parabola il cui vertice in $ (0;0) $ è un min ass, procediamo ad un suo semplice studio. La derivata della detta funzione è $ 2x $, da cui deduciamo per lo studio della disequazione $ 2x>=0 $ che in $ (0;0) $, UNICO PUNTO IN CUI LA DERVATA SI ANNULLA, abbiamo un min rel. Tralasciando il teorema per cui un punto di min rel in una funzione totalmente convessa è anche di min ass, per verificare che $ (0;0) $ è di min assoluto abbiamo 2 diversi metodi:
1)$ f(x)>=f(0) $ da cui $ x^2>=0 $, che è sempre verificata;
2)dato che la funzione ha un solo punto critico, se i lim per $ x $che tende a +-inf di $ f(x) $ danno un risultato maggiore di $ f(0) $,allora il punto è di min assoluto.
Ora dato che nelle funzioni in 3 variabili il dominio è il piano $ xoy $ e nell'esercizio $ f(x;y)=x^2*e^x+y^2+2y $ ho determinato i punti critici definendoli di sella e di min rel, posso affermare con certezza che non avrò altri punti candidati. Dunque se la funzione assumerà sempre valori più alti rispetto a quello assunto nel min rel allora quest'ultimo è di min ssoluto. Pertanto nell'esempio da te proposto dopo aver calcolato eventuali punti candidati, se uno di essi risulta di min rel e in esso la funzione assume il valore più basso rispetto agli altr punti candidati, poichè i lim per $ x $e$ y $ che tendono a +- inf, (vedere come ho proceduto nel testo iniziale che apre questo argomento), danno un risultato maggiore della funzione calcolata nel min rel (con risultato che nel detto caso è sempre +inf), allora tale punto è di min assoluto. Grazie per l'attenzione e scusa per l'eccessiva lunghezza del testo.
1)$ f(x)>=f(0) $ da cui $ x^2>=0 $, che è sempre verificata;
2)dato che la funzione ha un solo punto critico, se i lim per $ x $che tende a +-inf di $ f(x) $ danno un risultato maggiore di $ f(0) $,allora il punto è di min assoluto.
Ora dato che nelle funzioni in 3 variabili il dominio è il piano $ xoy $ e nell'esercizio $ f(x;y)=x^2*e^x+y^2+2y $ ho determinato i punti critici definendoli di sella e di min rel, posso affermare con certezza che non avrò altri punti candidati. Dunque se la funzione assumerà sempre valori più alti rispetto a quello assunto nel min rel allora quest'ultimo è di min ssoluto. Pertanto nell'esempio da te proposto dopo aver calcolato eventuali punti candidati, se uno di essi risulta di min rel e in esso la funzione assume il valore più basso rispetto agli altr punti candidati, poichè i lim per $ x $e$ y $ che tendono a +- inf, (vedere come ho proceduto nel testo iniziale che apre questo argomento), danno un risultato maggiore della funzione calcolata nel min rel (con risultato che nel detto caso è sempre +inf), allora tale punto è di min assoluto. Grazie per l'attenzione e scusa per l'eccessiva lunghezza del testo.
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