equazioni differenziali

[Apocalisse86]

Salve a tutti !!!!Io sono nuovo...scusatemi.... ma vi chiedo subito un mega favore!! Ho perso gli ultimi giorni di corso e non ho capito come si effettua la studio qualitativo di una equazione differenziale e questo è un argomento molto frequente negli appelli di Calcolo 3 e l'esame è a giorni!!!!!Mi potete dare qualche suggerimento?Per semplicità(più mia che vostra!)ho postato questo esercizio così capite meglio a cosa mi riferisco.... se ora qualcuno mi può spiegare come risolverlo:
Sia $ y(x) $ la soluzione del seguente problema di Cauchy
$ \left\{\begin{array}{rl}y'=e^{y^2-4y+3}-1 \\ y(0)=2\end {array} \right $
si chiede di studiare le seguenti proprietà di $ y(x) $:
1)limitatezza
2)monotonia
3)concavità/convessità
4)asintoti

Grazie a tutti in anticipo!!!Vi prego aiutatemi!!!Specialmente su come risolvere il primo punto perchè forse gli altri li ho capiti(o spero!) !!!grazie grazie ancora a tutti!!!

[Apocalisse86]

so che è brutto insistere, e chiedo umilmente scusa , ma nessuno è disposto a darmi una mano?............please....siate buoni.....help me !

[Cmax]

Gli studi qualitativi dipendono molto dai gusti del docente, e si è reticenti nel dare indicazioni che potrebbero essere controproducenti all'esame.
In modo approssimativo, per il tuo esercizio, per quello che ricordo delle equazioni del tipo $ y'=G(x,y) $ si può dire che
1. la soluzione è definita su tutto $ \mathcal{R} $ ($ G(y)=e^{y^2-4y+3}-1 $ è continua ed ha altre gradevoli proprietà)
2. i valori $ y=1, 3 $ sono radici di $ G(y) $, quindi soluzioni costanti dell’equazione.
3. i grafici delle soluzioni non possono intersecarsi (unicità). Essendo y definita in $ \mathcal{R} $, $ y=1 $ e $ y=3 $ sono possibili asintoti orizzontali, tra cui la soluzione ricercata è costretta, e di conseguenza limitata
4. $ G(y) < 0 $ per $ 1<y<3 $, quindi $ y'<0 $ per $ 1<y<3 $, la soluzione specifica, per quanto affermato, è decrescente, con gli asintoti specificati.
5. $ y''=G'(y) = y'(2y-4)e^{y^2-4y+3} $ ha $ y=2 $ come radice, ci si può attendere un flesso per $ y=2 $ (nel tuo caso questo avviene quando $ x=0 $, per le condizioni iniziali). Lo studio del segno di $ y'' $ può confermarlo. Tra l’altro questo è consistente con il comportamento asintotico prima determinato. Per cui $ y $ è convessa se $ y<2 $ ($ x<0 $), altrimenti concava.
Tieni conto che nel punto 1 ho sorvolato disinvoltamente su certe proprietà richieste dai teoremi di esistenza ed unicità (per esempio che $ G $ sia localmente lipschitziana, che nel tuo esercizio è legato al fatto che sia differenziabile su un aperto), non conosco il livello di rigore richiesto nel tuo esame.

[Apocalisse86]

Mi sembra di aver capito.... si si ci sono... !!!! Alla fine il tutto si riduce ad una "specie" di studio di funzione...cmq i chiarimenti che mi hai dato sono stra-sufficienti e poi, guardando i vecchi appelli, ho notato che gli esercizi sugli studi qualitativi assegnati sono quasi simili all'esercizio postato... ...!!!grazie mille quindi...se ho qualche problema però... mi rifaccio vivo... !!

[Martino]

Ciao,

io purtroppo non credo di aver mai visto nei vari corsi che ho seguito una trattazione esauriente sull'analisi qualitativa delle equazioni differenziali... quindi sarei grato a chiunque volesse chiarirmi questo dubbio:

la locale lipschitzianità non dà esistenza e unicità solo locali? Cioè, nel caso in esame io direi che poiché la G è localmente lipschitziana (in quanto $ \partial_yG $ è continua e quindi localmente limitata) esistono un intorno di 0, diciamo del tipo $ ]-\delta,\delta[ $, e una funzione $ f \in C^1(]-\delta,\delta[,\mathbb{R}) $ soluzione del problema di Cauchy proposto, unica tra quelle definite in $ ]-\delta,\delta[ $.
Parlando teorema di esistenza e unicità globale alla mano, mi pare che in questo caso sia inutilizzabile perché richiede una ipotesi di "crescita sublineare" $ |G(y)| \leq A |y|+B $ con A e B costanti opportune, cosa di cui non disponiamo nel nostro caso particolare.
Come si fa a dire che in questo caso la soluzione massimale è definita su tutto $ \mathbb{R} $?

Grazie a chiunque vorrà rispondermi.

[Cmax]

Se ben ricordo (sono passati ... anni), il teorema di esistenza globale per il problema di Cauchy $ y'=G(x,y); y(x_0)=y_0 $ afferma che se $ G: I\times \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^k $ è al più lineare, allora OGNI soluzione massimale è definita su $ I $ (anche illimitato). Tra le conseguenze del teorema locale (con le condizioni di etc. etc), invece, c'era che una soluzione massimale O è definita su $ I $ O tende a $ \pm \infty $ per punti interni a $ I $. L'unicità e la presenza di soluzioni costanti, con i vincoli che impongono, fanno il resto. In effetti aver inserito nel primo punto il dominio di definizione è stata, come detto, un'eccessiva disinvoltura, posso dire che faceva parte di quegli abusi a suo tempo consentiti.

[Apocalisse86]

Amici mi serve una mano ( ) perché non riesco a venire a capo di un esercizio che per voi di sicuro sarà facilissimo
Sono due punti: sul primo ho una mezza idea sul secondo non so proprio come iniziare...

Sia data la seguente equazione differenziale:

$ \displastyle y''-9y=6x $

1)determinare una soluzione dell'equazione che sia lineare e dire (motivando la risposta ) se esistono altre soluzioni con questa proprietà;
2)determinare una soluzione dell'equazione che ammette un'asintoto obliquo quando x tende a $ +\infty $ e calcolarlo. In più dire se esistono altre soluzioni dell'equazione con questa proprietà (motivando la risposta ).

intanto l'integrale generale a me è venuto:

$ \displaystyle y(x)=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}-\frac{2}{3}x $

ora passando al punto 1) ho pensato che per essere lineare basta che le costanti C1 e C2 siano nulle...perché così resta $ y(x)= -\frac{2}{3}x $. Vi sembra corretto questo ragionamento??e poi ne esistono di altre?? a me non convince molto...per il punto 2) mi affido pienamente a voi !!

grazie in anticipo a che mi risponderà!!

[Apocalisse86]

Allora??
nessuna idea?
help please!!
Io ci sto pensando ma non riesco a risolverlo...mi blocca il fatto che ci sono i due parametri C1 e C2...se richiedeva di calcolare l'asintoto obliquo della soluzione di un problema di Cauchy era tutto molto più facile...
confido in una vostra risposta...
ciao ciao!!

[EvaristeG]

Per il punto 1), perchè non provi a supporre che $ y=ax+b $ e sostituisci vedendo per quali valori di a,b questa soddisfa l'eq. diff?
Per il punto 2), beh, se quella è la sol generica, basta fare la sua derivata e calcolare, in dipendenza delle costanti di integrazione, il limite per x->infinito: se tale limite è finito,allora c'è un asintono obliquo, no?

[SkZ]

la teoria ci dice che un'equazione differenziale omogenea se ha soluzione questa e' unica.
se non e' omogenea, se ha soluzione questa e' unica, a meno di una costante moltiplicata per la soluzione omogenea (ha una famiglia di soluzioni $ y=g(x)+k\cdot f(x)) $.
dato che la sol omogenea non e' lineare, mentre la "sol non omogenea" si, la costante e' chiaramente nulla.

le eq. diff. si risolvono con la teoria e un po' di conti.

[Apocalisse86]

Ok... !!mi sembra di aver capito come procedere!!!
grazie per avermi sciolto quest'ultimi dubbi!!!