Max e Min relativi e assoluti di funzioni a 2 variabili

[Sosuke]

Ciao a tutti ho alcuni problemi su come trovare i massimi e minimi di una funzione a 2 variabili. Ho aperto un nuovo post (si ho visto che ce n'era un altro) perchè ho bisogno di trovare questi punti di max e min senza trasformare in coordinate polari. Visto che capisco meglio attraverso gli esempi posto qui di seguito una funzione e il metodo che uso per trovare quseti massimi e minimi. Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto e le eventuali (sicure) correzzioni....

Allora la funzione è $ f(x,y)=x^3+y^3-3xy $

Da quello che ho capito per trvare i punti di max e min relativi devo fare le derivate pariali seconde costruirmi la matrice Hessiana e poi in base al valore che assume questa vedo se è un min, se è un max o se è un punto di sella.

Le derivate parziali prime dovrebbero essere:

Considerando x variabile e y costante -> $ f'_x(x,y)= 3x^2-3y $

Considerando y variabile e x costante -> $ f'_y(x,y)= 3y^2-3x $


A questo punto devo calcolarmi le derivate parziali seconde e costruire la matrice Hessiana

$ f''_{xx}(x,y)=6x $
$ f''_{xy}(x,y)=-3 $
$ f''_{yx}(x,y)=-3 $
$ f''_{yy}(x,y)=6y $

Ecco mi sarebbe piaciuto anche fare la amtrice con il LaTex.. ma va beh... spero sia ugualmente comprensibile

H(x,y)=6x -3
-3 6x

Ecco.. sperando che fino a qui sia tutto esatto, ora come faccio a sapere se la matrice è positiva, negativa o uguale a 0??? devo calcolare il determinante?

Grazie ancora

[MdF]

Certo, occorre calcolare il determinante della matrice Hessiana. Però esso va calcolato nei punti che soddisfano il sistema formato dalle due derivate prime parziali, entrambe poste a zero. Questi sono, infatti, i punti di massimo/minimo/sella, a seconda dei casi.
Nel tuo caso hai:
$ $ 3x^2-3y=0 $ $
$ $ 3y^2-3x=0 $ $
Esse sono a sistema.
Troverai delle coppie $ $ (x,y) $ $ le quali sono due coordinate delle terne di valori che indicano i punti di massimo/minimo/sella.
Provo a risolvere:
$ $ y=x^2 $ $
$ $ 3x(x^3-1)=0 $ $
$ $ 3x(x-3)(x^2+x+1)=0 $ $
quindi avrai un $ $ x_1=0 $ $, un $ $ x_2=3 $ $ e un altro paio di valori di x che non so calcolarti. Poi ti cerchi le $ $ y $ $, e non è escluso siano 4 o più valori. Poi procedi a combinare tutte le x e le y tra loro, avrai quindi oltre 10 punti, forse 16, di preciso non so.
In ciascuno di questi punti, con le due coordinate che hai, ti calcoli il valore della matrice Hessiana (che tu hai ancora sotto forma di incognite). Se fosse maggiore di zero, calcoli pure la derivata seconda rispetto a x con le coordinate del punto in analisi, per capire se il punto è di massimo o minimo. Quindi procedi a calcolare la coordinata $ $ z $ $ del punto, per ottenere la terna $ $ P\equiv (x,y,z) $ $.
Il determinante generico nel tuo caso è:
$ $ H=(6x \cdot 6y) - (-3)^2 = 36xy - 9 $ $
(avevi sbagliato a riportare $ $ f''_{yy} $ $)
Per esempio, nei punti di ascissa $ $ x=0 $ $, $ $ H=-9 $ $ sempre, quindi tutti i punti con ascissa $ $ x=0 $ $ (e sono diversi) sono di sella. Non vado oltre perché sarebbe lunghissimo.

[Sosuke]

Oh mamma.. in pratica non capisco niente... sti 16 punti che sono e dove li devo mettere?

[MdF]

Allora.
I punti sono 16 (più o meno, non sono così avanti da capirlo ad occhio) perché hai $ $ x^4 $ $ e $ $ y^4 $ $. Quindi hai 4 valori in ascissa, a ciascuno dei quali devi associare 4 valori in ordinata: $ $ 4 \cdot 4 = 16 $ $, e passa la paura.
Ora, ognuna di queste coppie $ $ (x,y) $ $ indica un punto. Poiché il punto è nello spazio cartesiano $ $ xyz $ $ (non so se si può chiamare così, ma per ora ci accontentiamo) manca l'indicazione di $ $ z $ $, ma quella la puoi facilmente ricavare perché $ $ z = f(x,y) $ $. Ma questi sono formalismi. In sostanza, in questi punti (che ricavi ponendo a zero le derivate prime) succede qualcosa. O la funzione ha il suo massimo, o ha il suo minimo, o forma una sella. Posso solo ipotizzare che, su 16 punti, ce ne siano 14 di sella, ma non si sa mai.
Per capire cosa succede calcoli, NEI PUNTI CHE HAI, l'Hessiano. Cioè sostituisci all'Hessiano le coordinate $ $ (x,y) $ $ (in tuo possesso) del punto. La casistica ti aiuta a capire cosa succede a seconda del valore prima dell'Hessiano e poi di $ $ f''_{xx} $ $. Quindi, semplicemente, dirai che "... il punto $ $ P \equiv (x_P,y_P,z_P) $ $ è di [massimo/minimo/sella]".
È solo estremamente lungo e macchinoso, non ti pare?

[Sosuke]

Si quindi alla fine l'unica difficoltà sarebbe nel trovare questi 16 punti... e a quel punto l'Hessiana sarà una matrice 4x4 o sepre 2x2?

[MdF]

La matrice Hessiana è SEMPRE 2x2, perché le derivate seconde sono 4 (SEMPRE) e quelle sono lì riportate. Il suo bello è che è generica, cioè il suo determinante va bene per tutti i punti: devi solo sostituire i valori di $ $ x $ $ e $ $ y $ $, e il gioco è fatto.

[SkZ]

i punti in cui la matrice jacobiana $ (3x^2-3y; 3y^2-3x) $ si annulla sono (0,0) e (1,1) (si ha $ y=x^2; x=y^2 $ )
l'hessiana e'
$ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 6x & -3 \\ -3 & 6y \\ \end{array} \right) $
(simmetrica per definizione)
ergo nei due punti ho
$ \displaystyle H(0,0)=\left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\ -3 & 0 \\ \end{array} \right) \qquad H(1,1)=\left( \begin{array}{cc} 6 & -3 \\ -3 & 6 \\ \end{array} \right) $
per la determinazione se un punto e' di massimo, minimo o sella la questione e' un po' piu' complicata perche' bisogna considerare i suoi autovalori e se sono tutti positivi (matrice definita positiva) allora si ha un minimo, se sono tutti negativi (matrice definita negativa) allora si ha un massimo, se il segno varia allora hai un punto di sella.
Nel caso di hessiane 2x2 $ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) $ piu' semplicemente puoi considerare i valori $ a \quad\textrm{e}\quad ad-bc $: se sono entrambi positivi la matrice e' definita positiva, se il primo e' negativo e il secondo positivo la matrice e' definita negativa.
In caso gli autovalori di una matrice quadrata $ (a_{nn}) $ si calcolano sostituendo a $ ~ a_{ii} \rightarrow (a_{ii}-\lambda) $ e ponendo il determinante uguale a zero. Per una matrice simmetrica 2x2 si ha $ (a-\lambda)(d-\lambda)-b^2=0 \qquad \Rightarrow \lambda^2-(a+d)\lambda+ad-b^2=0 $
gli auto valori di H(0,0) sono {-3,3}, mentre per H(1,1) si ha {3,9}

aggiungo un piccolo grafico della zona


(v. http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_he ... ta_seconda o siti piu' adeguati)

[Sosuke]

quindi devo studiare solo nei punti (0,0) e (1,1) ??? Nono ci sono altri punti in cui la derivata prima si annulla?


E poi se ho capito bene H(0,0)<0>0 e quindi devo studiare il segno di $ f''_{xx}(x,y) $. In questo caso $ f''_{xx}(1,1)=6 $ allora (1,1) è un minimo relativo. Esatto?

[SkZ]

non ci sono altri punti: dato che ognuno e' pari al quadrato dell'altro sono entrambi non negativi, poi combinando ottieni $ x=x^4 $ e in $ ~ \mathbb{R} ~ $ cio' e' possibile solo per 1 e 0: scomponendo hai $ ~ x(x-1)(x^2+x+1)=0 $ e l'ultimo polinomio non ha soluzioni in $ ~ \mathbb{R} ~ $. Prima ti era scappato dentro un 3: forse si considerava troppo perfetto per essere scartato!

metodi pratici per vedere se una matrice hermitiana M e' definita positiva sono:
1) se i suoi auto valori sono positivi
2) se sono positivi i determinanti della sottomatrice superiore sinistra 1 × 1 di M, della sottomatrice superiore sinistra 2 × 2 di M, della sottomatrice superiore sinistra 3 × 3 di M, ..., e di M stessa.


se esistono gli autovalori di una matrice quadrata allora la matrice e' diagonalizzabile

[Sosuke]

Ok.. allora penso di aver compreso... scusa avevo sbagliato a scrivere prima una parte del post... intendevo:


E poi se ho capito bene H(0,0) minore di 0 quindi (0,0) è un punto di sella.. per H(1,1) maggiore di 0 e quindi devo studiare il segno di $ f''_{xx}(x,y) $. In questo caso $ f''_{xx}(1,1)=6 $ allora $ (1,1) $ è un minimo relativo. Esatto?

[Sosuke]

E per quanto riguarda i max e minimi assoluti? come mi devo comportare? li non ho proprio idea...

[SkZ]

un metodo e' quello di dimostrare che la funzione e' minorata dal valore di quel minimo relativo, come ho fatto nel topic "minimo assoluto", particolarmente semplice in quel caso in cui $ f(x,y)=X(x)+Y(y) $

[Sosuke]

scusa non capisco solo cosa vuol dire $ ||(x,y)||_\infty $

[SkZ]

scusa non capisco solo cosa vuol dire $ ||(x,y)||_\infty $

brutto vizio degli universitari a usare notazioni particolari
$ ||(x,y)||_\infty=1 $ (norma infinito) e' il luogo dei punti per cui max(|x|,|y|)=1
Norma 2 e' pari alla distanza geometrica dal centro ($ ~ ||(x,y)||_2=\sqrt[2]{|x|^2+|y|^2}} $) e se ben ricordo la norma $ ~ n $ e' pari a $ ~ ||x,y||_n=\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n}} $ (non mi ricordo bene se ci sono o no i moduli, dato che nella norma 1 e infinito compaiono)
Prendere i punti per cui la norma infinito e' minore di a, vuol dire che pigli tutti quei punti all'interno del quadrato di vertici (a,a), (-a,a),(-a,-a), (a, -a) ( se ben ricordo le famose palle quadrate)
Dato che la funzione si poteva "scomporre" in una parte dipendente solo da x e una dipendente solo da y mi era piu' comodo che unare la classica palla tonda.

[Sosuke]

A quanto ho capito da quello che hai scritto nell'altro post quindi per avere un minimo assoluto (o un max assoluto) la funzione deve essere maggiore (o minore) della norma... ma come trovo la norma?? Questo non mi è ben chiaro.. scusa


Ah e poi... se ho capito bene questo vale solo nel caso in cui il min (o max) relativo combacia con il min (o max) assoluto. se esatto come mi devo comportare quando questo non avviene?