Max e Min relativi e assoluti di funzioni a 2 variabili

[SkZ]

lascia perdere tutto! La mia era una strana divagazione!
Detta matematicamente, per dimostrare che un minimo relativo e' anche assoluto devi dimostrare che il valore della funzione in quel punto e' estremo inferiore per l'immagine della funzione, ovvero devi mostrare che, se $ ~ \bar{x} $ e' il punto (anche n-dimensionale) di minimo relativo,
$ \displaystyle f(x)>f(\bar{x})\; \forall x\in X $

Io mi ero dilettato a "dimostrare" che il punto di minimo assoluto e' contenuto entro la palla quadrata di raggio 2, cosa alquanto inutile.

edit:
dimenticavo: (Se ben ricordo) se una funzione e' derivabile ovunque e ha un minimo assoluto, questo e' anche un minimo relativo. In caso contrario, puo' essere che i punti di non-derivabilita' siano massimi/minimi relativi/assoluti (vedi |x| ), ma in quel caso basta controllare a mano (le funzioni che incontri tu non hanno mai caratteristiche troppo strane)

[Sosuke]

lascia perdere tutto! La mia era una strana divagazione!
Detta matematicamente, per dimostrare che un minimo relativo e' anche assoluto devi dimostrare che il valore della funzione in quel punto e' estremo inferiore per l'immagine della funzione, ovvero devi mostrare che, se $ ~ \bar{x} $ e' il punto (anche n-dimensionale) di minimo relativo,
$ \displaystyle f(x)>f(\bar{x})\; \forall x\in X $

Quindi - se ho capito - per quanto riguarda le funzioni a 2 variabili se $ z=f(x,y)>\bar{z}=f(\bar{x},\bar{y}) $... Praticamente come lo faccio questo controllo?

Devo studiare qualche limite che tende all'$ \infty $ e se questo risulta minore del minimo è minimo assoluto? e se risulta maggiore del massimo è un massimo assoluto?

[Sosuke]

Allora... mi pare di aver capit oche i punti di massimo e minimo assoluto vanno ricercati:

- Nei punti di non derivabilità della funzione;
- Nei punti critici (max e min relativi, punti di sella);
- Nei punti critici vincolati (max e min relativi, punti di sella).

Prendere questi punti e sostituirli nella funzione e da qui vedere se è un max o min assoluto.

Spero sia esatto

Quindi... nel mio caso i punti critici sono $ (0,0) $ e $ (1,1) $...
Sostituisco nella funzione $ f(x,y)=x^3+y^3-3xy $ e mi trovo $ f(0,0)= 0 $ e $ f(1,1) = -1 $

Quindi mi verrebbe $ -1 $ il minimo assoluto... il che mi sembra molto ma molto improbabile....

dovrò studiare qualche limite?

Che so io, tipo $ z= lim_{x,y \rightarrow -\infty} x^3+y^3-3xy = -\infty $

???

[SkZ]

dovrò studiare qualche limite?
Che so io, tipo $ z= lim_{x,y \rightarrow -\infty} x^3+y^3-3xy = -\infty $

Piu' che altro $ lim_{x^2+y^2 \rightarrow \infty} x^3+y^3-3xy $
qui penso che con le coordinate polari non ci si ingarbugli troppo.
Infatti dimenticavo che bisogna controllare anche l'andamento della funzione all'infinito ($ ~ \rho=\sqrt{x^2+y^2} \rightarrow \infty $) e confrontare talii valori con quelli della funzione negli estremi relativi e nei punti di non derivabilita'
nel tuo caso
$ f(\rho, \varphi)= \rho^3(\cos^3{\varphi}+\sin^3{\varphi})-3\rho^2\sin{\varphi}\cos{\varphi} $ che per opportuni valori tende a piu' e meno infinito, quindila tua funzione non ha massimi o minimi assoluti

[Sosuke]

perdonami ancora... perchè devo studiare il limite della funzione che tende a $ x^2 + y^2 $?

[SkZ]

Detta spanne, in unpiano cartesiano un punto e' all'infinito rispetto all'origine degli assi non solo se le sue ccordinate tentono entrambe all'infinito, ma e' se ll modulo della sua distanza tende all'infinito.
$ ~ |xy| $ all'infinito assume tutti i valori non negativi, basta porre $ ~ y=\frac{k}{x} $ e far tendere x a zero $ \rho^2=x^2+y^2=x^2+\frac{k^2}{x^2} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0} \rho \rightarrow +\infty $

[Sosuke]

Quindi per qualunque funzione io abbia devo studiare i $ [tex] $\displaystyle lim_{x^2+y^2\rightarrow\infty} ????

O è solo in questo specifico caso?

[SkZ]

studiare a volte e' un parola grossa. certe funzioni vedi a occhio il suo andamento all'infinito. Ad es $ ~ x^2 +y^2 $ all'infinito tende sempre all'infinito. per altre tocca effettuare dei veri e propri studi sulla circonferenza con raggio tendente all'infinito (oppure usi i moltiplicatori di Lagrange, che se be parla tanto ultimamente ). Non ho ancora mangiato e gli esempi non mi vengono

[Sosuke]

e per studiare massimi e minimi assoluti senza coordinate polari? perchè proprio non riesco a capire...

[SkZ]

puoi provare a vedere come si comporta la funzione in certe direzioni (y=mx). Nel caso da te proposto per x=y si vede che i limiti sono piu' e meno infinito, quindi non hai massimi o minimi assoluti e hai risolto velocemente.
ma purtroppo non tutte le funzioni sono cosi' amichevoli e dato che, mi pare di capire, sei all'universita', non e' difficile che te ne capiti una
Non che in coordinate polari si risolve tutto! A volte ti ritrovi delle formule indegne e ingestibili.
un modo di procedere potrebbe essere:
1) cercare un masimo o un minimo per l'immagine della funzione ($ ~ x^2e^x+y^2\ge 0 \; \forall (x,y) $ ad esempio e dato che (0,0) e' un minimi relativo e f(0,0)=0 allora e' anche assoluto)
2) appurare se la funzione diverge in qualche punto o all'infinito

[Sosuke]

2) appurare se la funzione diverge in qualche punto o all'infinito

Questo lo devo fare con i limiti.. no?

I limiti che devo studiare sono questi:
$ \displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty, y \rightarrow +\infty} $
$ \displaystyle lim_{x \rightarrow +\infty, y \rightarrow -\infty} $
$ \displaystyle lim_{x \rightarrow -\infty, y \rightarrow +\infty} $
$ \displaystyle lim_{x \rightarrow -\infty, y \rightarrow -\infty} $


?????

[SkZ]

questo equivale a studiare la funzione lungo le bisettrici, non all'infinito in generale.
Se per quei limiti diverge puoi escludere l'esistenza di massimi/minimi assoluti, ma se non lo fa non puoi affermare nulla.

[Sosuke]

Ahhh perdonami ma non mi è proprio chiaro.. se non diverge quindi in generale che studio?
Cioè se ho capito bene l'unica cosa ceh posso fare è fare attenzione al comportamento della funzione... tutto qui...

[Sosuke]

Ecco dimenticate tutto e perdonatemi... rileggendo gli esercizi degli esami passati il prof richiedeva solo la ricerca dei punti di max e min RELATIVI e di quelli di sella.

Il prof richiedeva di cercare max e min ASSOLUTI quando dovevo studiare la funzione in un semicerchio, in un quadrato, in un triangolo etc.... però il problema rimane sempre.. non so come trovarli... Vi faccio vedere il mio ragionamento (un pò di impegno glielo devo mettere )

La funzione che devo studiare (ad esempio) è $ f(x,y) = 5y(x^2-1) + 2y^2 - 1 $ nel quadrato di vertici $ A=(0,1) $, $ B=(1,1) $, $ C=(1,0) $ e $ O=(0,0) $

Allora al solito la prima cosa da fare è trovare le derivate prime:
$ f'_x(x,y) = 10yx $
$ f'_y(x,y) = 5x^2 - 5 + 4y $

Vedo dove si annullano le due derivate (penso che devo fare il sistema... devo trovare i punti in cui si annullano le 2 derivate INSIEME.. no?) :
Allora.. i punti in cui le due derivate si annullano sono:
$ a= (0,\frac{5}{4}) $, $ b= (-1,0) $, $ c= (1,0) $

[Sosuke]

Ecco ora sono un pò perplesso ... un punto era $ a= (0,\frac{5}{4}) $... $ \frac{5}{4}> 1 $ quindi fuori dal riquadro.. di conseguenza non lo devo considerare (giusto?).. lo stesso vale per $ b= (-1,0) $

Ecco quindi considero l'unico punto che mi è rimasto che è $ c= (1,0) $


Ma che devo fare a questo punto?


Dagli appunti di un ragazzo ho visto che lui sostituiva il punto nella funzione (ma non ho capito secondo che criterio.. parlava pure di frontiere) e vedeva se il risultato che trovava sostituendo faceva parte o no dell'area in cui si doveva studiare quella funzione... altro non so dirvi..