Si dimostri che, presi 4 punti a piacere interni a una circonferenza di raggio unitario, se ne trovano sempre due la cui distanza è inferiore a $ \displaystyle \sqrt2 $ .
L'ho risolto, a meno di un claim, che per l'appunto non so dimostrare.
Ho congetturato (termine altisonante, poi di sicuro è un risultato ben noto!) che nella situazione del cerchio, presi n punti a caso, detta $ \displaystyle d_{AB} $ la misura del più piccolo segmento tra quelli che uniscono ogni punto con tutti gli altri, al fine di massimizzare $ \displaystyle d_{AB} $ occorre disporre gli n punti sulla circonferenza, ai vertici di un $ \displaystyle n $ -agono regolare...
Ammesso che ciò sia vero, si osserva dunque che i 4 punti vanno posti ai vertici di un quadrato, avente la diagonale pari a 2, dunque il lato (ossia la distanza tra due punti qualunque, che è sempre la stessa) vale $ \displaystyle \sqrt2 $ . In ultimo, poichè nelle ipotesi si impone che i punti siano scelti interni al cerchio (escludendo quindi a mio parere la circonferenza), la tesi è dimostrata...
Vi sarei grato se voleste dimostrare il mio claim, please...
Grazie comunque
Ciao!
EDIT: Aggiunto il numero del giornalino da cui è tratto l'esercizio...
