Carino e abbastanza facile, ma il risultato è davvero notevole !
Sia $ f : I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ una funzione. Diciamo che il grafico di $ \displaystyle f $ ha una corda orizzontale di lunghezza $ a >0 $ se $ x \in I, x+a \in I $ e $ f(x) = f(x+a) $.
Sia ora $ f : [0;1] \to \mathbb{R} $ una funzione continua su $ [0;1] $ e con $ f(0)=f(1) $.
Dimostrare che se $ \displaystyle a $ è il reciproco di un intero (ovvero se $ a = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots $) allora $ \displaystyle f $ ha una corda orizzontale di lunghezza $ \displaystyle a $.
Dimostrare inoltre che se $ 0<a<1 $ e $ \displaystyle a $ non è il reciproco di un intero, allora esiste una funzione continua $ f: [0;1] \to \mathbb{R} $ con $ f(0)=f(1) $ che non ha una corda orizzontale di lunghezza $ \displaystyle a $.
universal chord theorem
Re: universal chord theorem
Prima parte:
Sia $ f $ la funzione data. Allora $ g(x)=f(\frac{x}{a}) $ è una funzione continua su $ [0;n] $. La tesi equivale a dire che la g possiede una corda orizzontale di lunghezza 1. Inoltre possiamo suppore $ g(0)=g(n)=0 $. Supponiamo inoltre $ g(1)>0 $ (l'altro caso negativo è analogo, se $ g(1)=0 $ avremmo invece già trovato la corda).
A questo punto la funzione
$ h(x)=g(x)-g(x-1) $
definita da $ [1;n] $ in R è continua e $ h(1)>0 $. Se per assurdo fosse $ h(x)>0 $ per ogni x nel dominio, si avrebbe
$ 0=g(n)>g(n-1)>g(n-2)>...>g(1)>0 $
che è un assurdo. Quindi la funzione h assume anche valori negativi (o si annulla) e per continuità in ogni caso si annulla, fornendo la corda richiesta.
Seconda parte:
Analogamente a prima definisco la funzione su $ [0;\frac{1}{a}] $ di modo che non abbia corde di lunghezza 1.
Per fare questo costruisco prima la funzione su $ [0;1] $ come estensione per continuità di una funzione con questi valori
$ f(\{\frac{1}{a}\})=-[\frac{1}{a}] $
$ f(0)=0 $
$ f(1)=1 $
e poi la definisco su $ [0;\frac{1}{a}] $ mediante la relazione:
$ f(x)=[x]+f(\{x\}) $
che verifica la condizione voluta ed è continua per verifica diretta.
Torna?
Sia $ f $ la funzione data. Allora $ g(x)=f(\frac{x}{a}) $ è una funzione continua su $ [0;n] $. La tesi equivale a dire che la g possiede una corda orizzontale di lunghezza 1. Inoltre possiamo suppore $ g(0)=g(n)=0 $. Supponiamo inoltre $ g(1)>0 $ (l'altro caso negativo è analogo, se $ g(1)=0 $ avremmo invece già trovato la corda).
A questo punto la funzione
$ h(x)=g(x)-g(x-1) $
definita da $ [1;n] $ in R è continua e $ h(1)>0 $. Se per assurdo fosse $ h(x)>0 $ per ogni x nel dominio, si avrebbe
$ 0=g(n)>g(n-1)>g(n-2)>...>g(1)>0 $
che è un assurdo. Quindi la funzione h assume anche valori negativi (o si annulla) e per continuità in ogni caso si annulla, fornendo la corda richiesta.
Seconda parte:
Analogamente a prima definisco la funzione su $ [0;\frac{1}{a}] $ di modo che non abbia corde di lunghezza 1.
Per fare questo costruisco prima la funzione su $ [0;1] $ come estensione per continuità di una funzione con questi valori
$ f(\{\frac{1}{a}\})=-[\frac{1}{a}] $
$ f(0)=0 $
$ f(1)=1 $
e poi la definisco su $ [0;\frac{1}{a}] $ mediante la relazione:
$ f(x)=[x]+f(\{x\}) $
che verifica la condizione voluta ed è continua per verifica diretta.
Torna?
si... più elegante esibirla così in effetti...
cmq la funzione che ho mostrato si dimostra facilmente che è continua. Se siano lontani da un intero è somma di funzioni continue. Se siamo vicini ad un intero, si vede che i due limiti sono uguali, infatti sia a l'intero in esame:
- limite da destra: (a-1)+1=a;
- limite da sinistra: (a)+(0)=a;
- f(a)=[a]+f(0)=a
alla prox!
cmq la funzione che ho mostrato si dimostra facilmente che è continua. Se siano lontani da un intero è somma di funzioni continue. Se siamo vicini ad un intero, si vede che i due limiti sono uguali, infatti sia a l'intero in esame:
- limite da destra: (a-1)+1=a;
- limite da sinistra: (a)+(0)=a;
- f(a)=[a]+f(0)=a
alla prox!