Salve a tutii,
mi potreste dire il perchè il LOGARITMO di:
$
L(\lambda)= \displaystyle\frac{\lambda^3^n}2e^{\lambda(x1+x2....)}
$
risulta essere questo:
$
3n log \lambda + C - \lambda(x1+x2....)
$
che calcoli sono stati fatti?
Perpiacere rispondetemi al piu presto è importante perchè proprio non riesco a capire. Grazie mille.
IMPORTANTE!! Calcolo di questo logaritmo??
Premetto che non sono una mente in matematica anzi... però da quel poco che sono riuscito a farmi entrare in testa mi pare di capire che siano state utilizzate le seguenti proprietà dei logaritmi:
$ log_ma^k =k*log_ma $ quindi nel tuo caso $ log_e\lambda^{3n}=3n*log_e\lambda $
Un'altra proprietà dice:
$ log_aa^x = x $ quindi $ log_ee^{\lambda(x_1+x_2+...)}= \lambda(x_1+x_2+...) $
Naturalmente le basi dei logaritmi in questo caso si possono anche omettere... ma visto che non do nulla per scontato li ho messi... per il resto, ad esempio da dove abbiano preso quel $ C $ oppure dove sia andato a finire quel fratto $ 2 $... mi dispiace ma non so aiutarti... spero comunque che per il resto ti sia stato d'aiuto
$ log_ma^k =k*log_ma $ quindi nel tuo caso $ log_e\lambda^{3n}=3n*log_e\lambda $
Un'altra proprietà dice:
$ log_aa^x = x $ quindi $ log_ee^{\lambda(x_1+x_2+...)}= \lambda(x_1+x_2+...) $
Naturalmente le basi dei logaritmi in questo caso si possono anche omettere... ma visto che non do nulla per scontato li ho messi... per il resto, ad esempio da dove abbiano preso quel $ C $ oppure dove sia andato a finire quel fratto $ 2 $... mi dispiace ma non so aiutarti... spero comunque che per il resto ti sia stato d'aiuto
la derivata del logaritmo naturale e' pari all'inverso del suo argomento, ovvero
$ ~ D_x(\ln{x})=\frac{1}{x} $
le derivazione e' un'operatore lineare quindi la derivata di una somma e' pari alla somma delle derivate e la derivata di una funzione per una costante e' pari alla derivata della funzione moltiplicata per la costante.
tu hai ovviamente $ D_\lambda\left(3nlog \lambda+C - \lambda(x1.....xn)\right) $, quindi hai la derivata di tre addendi, quindi il risultato sara' pari alla somma delle derivate dei tre addendi.
Il primo e' una costante (3n) moltiplicata per il logaritmo naturale (dovresti scrivere ln e non log che e' il logaritmo in base 10) di lambda, il secondo e' una costante (derivata nulla), il terzo e' una costante (x1.....xn) per lambda
$ ~ D_x(\ln{x})=\frac{1}{x} $
le derivazione e' un'operatore lineare quindi la derivata di una somma e' pari alla somma delle derivate e la derivata di una funzione per una costante e' pari alla derivata della funzione moltiplicata per la costante.
tu hai ovviamente $ D_\lambda\left(3nlog \lambda+C - \lambda(x1.....xn)\right) $, quindi hai la derivata di tre addendi, quindi il risultato sara' pari alla somma delle derivate dei tre addendi.
Il primo e' una costante (3n) moltiplicata per il logaritmo naturale (dovresti scrivere ln e non log che e' il logaritmo in base 10) di lambda, il secondo e' una costante (derivata nulla), il terzo e' una costante (x1.....xn) per lambda
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Si allora... penso che devi considerare $ n $, $ C $ e $ (x_1 ... x_n) $ come costanti, quindi l'unica variabile dovrebbe essere $ \lambda $... quindi:
Tieni presente che la derivata di una costante per una funzione ( $ c * f(x) $ )è uguale alla costante per la derivata della funzione ( $ c* f'(x) $ ). quindi nel tuo caso $ 3n $ è la costante e $ log \lambda $ è la funzione.
In generale la derivata di $ log x = \frac{1}{x} $, nel tuo caso $ log \lambda = \frac{1}{\labda} $; quindi
$ 3n * \frac {1}{\lambda} = \frac{3n}{\lambda} $
$ C $ è costante, quindi la derivata di una costante è $ 0 $;
Per l'ultima parte vale come sopra... cioè:
La derivata di una costante per una variabile ( $ c * x $ )è uguale alla costante per la derivata della variabile. Quindi nel tuo caso (a quanto pare) $ (x_1 ... x_n) $ è la costante e $ \lambda $ è la variabile.
In generale la derivata di $ x = 1 $, nel tuo caso $ \lambda = 1 $; quindi $ - \lambda(x1.....xn) $ diventa $ - (x1.....xn) $
Spero di essere stato chiaro..
EDIT: ehm .. sono stato anticipato
Tieni presente che la derivata di una costante per una funzione ( $ c * f(x) $ )è uguale alla costante per la derivata della funzione ( $ c* f'(x) $ ). quindi nel tuo caso $ 3n $ è la costante e $ log \lambda $ è la funzione.
In generale la derivata di $ log x = \frac{1}{x} $, nel tuo caso $ log \lambda = \frac{1}{\labda} $; quindi
$ 3n * \frac {1}{\lambda} = \frac{3n}{\lambda} $
$ C $ è costante, quindi la derivata di una costante è $ 0 $;
Per l'ultima parte vale come sopra... cioè:
La derivata di una costante per una variabile ( $ c * x $ )è uguale alla costante per la derivata della variabile. Quindi nel tuo caso (a quanto pare) $ (x_1 ... x_n) $ è la costante e $ \lambda $ è la variabile.
In generale la derivata di $ x = 1 $, nel tuo caso $ \lambda = 1 $; quindi $ - \lambda(x1.....xn) $ diventa $ - (x1.....xn) $
Spero di essere stato chiaro..
EDIT: ehm .. sono stato anticipato
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Ponnamperuma
- Messaggi: 411
- Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
- Località: Torino
[mod pistino=on]Cavolo giackk83, ho appena finito di leggere le lamentele di MdF per via del tuo messaggio nella sezione Algebra, vengo qui e becco la stessa identica domanda... 
Ora, premesso che sottoscrivo le obiezioni di MdF di cui sopra, ti pregherei di non ripetere le tue domande in più sezioni, anche perchè teoricamente all'accesso compaiono evidenziati i messaggi nuovi, quindi non c'è pericolo che la tua richiesta passi inosservata. Peraltro, mischiare in un solo thread derivate e logaritmi non è utile, senza contare che le prime senza dubbio non sono argomento olimpico (e anche sui logaritmi ho qualche dubbio), ergo devono comparire soltanto in Matematica non elementare!
[mod pistino=off]
Finito lo sfogo, concludo anche l'intervento!
Ciao!
Ora, premesso che sottoscrivo le obiezioni di MdF di cui sopra, ti pregherei di non ripetere le tue domande in più sezioni, anche perchè teoricamente all'accesso compaiono evidenziati i messaggi nuovi, quindi non c'è pericolo che la tua richiesta passi inosservata. Peraltro, mischiare in un solo thread derivate e logaritmi non è utile, senza contare che le prime senza dubbio non sono argomento olimpico (e anche sui logaritmi ho qualche dubbio), ergo devono comparire soltanto in Matematica non elementare!
[mod pistino=off]Finito lo sfogo, concludo anche l'intervento!
Ciao!
Grazie per le risposte che mi avete dato.
E poi soprattutto mi scuso se ho creato due nuovi discussioni in diversi ambienti. é che non sapevo dove metterla. Scusatemi ancora..... tutti sbagliano.....
Ripeto grazie per le risposte ora sono riuscito a capire bene il meccanismo....
Riguardo a dubbi sulle integrali e limiti posso postare qui ?
E poi soprattutto mi scuso se ho creato due nuovi discussioni in diversi ambienti. é che non sapevo dove metterla. Scusatemi ancora..... tutti sbagliano.....
Ripeto grazie per le risposte ora sono riuscito a capire bene il meccanismo....
Riguardo a dubbi sulle integrali e limiti posso postare qui ?
Grazie per la risposta 
ora provo a postare qui non vorrei combinare altri casini va la....
cmq ho guardato ma non riesco proprio a capire. Scusatemi la mia "ignoranza" in questo campo.
CMq il testo è questo.
Ho un esercizio che chiede:
$ f(x)=(1-x^2) per x che appartiene ad [-1,+1] $
di calcolare la costante K in modo che f sia una densità di una variabile aleatoria X.
Guardando la spiegazione di tale esercizio ho visto che parte con creare
l'integrale della funzione cioè:
$ f(x)=(1-x^2)==> \displaystyle\int_{-1}^{+1}\(1-x^2) $
a questo punto che non capisco!!
Dopo avere creato l'integrale, scrive direttamente questo:
$ \biggl[\frac{x^3}{3}-x\biggr]_{-1}^{+1} $
cos'è un limite? o derivata dell'integrale? non riesco a capire come ha fatto a calcolare i dati che sono tra le parentesi quadre......
mi potete aiutare??
ora provo a postare qui non vorrei combinare altri casini va la....
cmq ho guardato ma non riesco proprio a capire. Scusatemi la mia "ignoranza" in questo campo.
CMq il testo è questo.
Ho un esercizio che chiede:
$ f(x)=(1-x^2) per x che appartiene ad [-1,+1] $
di calcolare la costante K in modo che f sia una densità di una variabile aleatoria X.
Guardando la spiegazione di tale esercizio ho visto che parte con creare
l'integrale della funzione cioè:
$ f(x)=(1-x^2)==> \displaystyle\int_{-1}^{+1}\(1-x^2) $
a questo punto che non capisco!!
Dopo avere creato l'integrale, scrive direttamente questo:
$ \biggl[\frac{x^3}{3}-x\biggr]_{-1}^{+1} $
cos'è un limite? o derivata dell'integrale? non riesco a capire come ha fatto a calcolare i dati che sono tra le parentesi quadre......
mi potete aiutare??
-
Apocalisse86
- Messaggi: 69
- Iscritto il: 11 set 2006, 15:42
$ \displaystyle\int_{-1}^{+1} (1-x^2)dx $ è un integrale(per essere preciso un integrale definito). L'integrale rappresenta l'operazione inversa della derivazione. Quindi la scrittura $ \displaystyle \int f(x)dx $significa che bisogna trovare una funzione $ \varphi(x) $ (detta primitiva) che derivata sia uguale a $ f(x) $.
Es:
$ \displaystyle\int \cos x dx= \sin x $ perché $ D ( \sin x)=\cos x $
Quindi:
$ D[\int f(x)dx]=f(x) $
Gli integrali godono di molte proprietà:
1. $ \displaystyle \int kf(x)dx = k \int f(x)dx $ con $ k $ una costante
es:
$ \displaystyle \int \frac{x}{2}dx= \frac{1}{2} \int x dx $
In parole povere quando c'è una costante(un numero) che moltiplica la funzione integranda ( f(x) ) questa può essere portata fuori dal segno di integrale.
2.$ \displaystyle \int [ f_1(x)+f_2(x) ]dx= \int f_1(x)dx + \int f_2(x)dx $
es:
$ \displaystyle \int [x+x^2]dx= \int xdx + \int x^2dx $
Per farla breve: l'integrale di una somma di più funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni.
NB
Le due proprietà che ho scritto possono essere combinate tra loro quindi si può concludere che l'integrale è un operatore lineare.
Esistono due tipi di integrali: indefiniti e definiti (con i numeri agli estremi del segno di integrazione) Per prima cosa bisogna imparare a calcolare quelli indefiniti:
esistono delle semplici formule(che servono ad integrare funzioni elementari chiamati integrali immediati e bisogna impararle a memoria insieme ad alcune tecniche d'integrazione) ad esempio scrivo quella utile al tuo caso:
$ \displaystyle \int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha +1}+ C $ con $ \alpha \not = -1 $ ( C è una costante che va sempre aggiunta ogni volta che si risolve un integrale indefinito). In particolare $ \int 1dx=x+C $
Ancora:
$ \int \frac{1}{x}dx= \log|x|+C $
$ \int e^xdx=e^x+C $
$ \int \sin x dx= -\cos x +C $
$ \int \cos x= \sin x+C $
$ \int \frac{1}{\cos^2x}= \tan x+C $
$ \int \frac{1}{\sin^2x}= -cot x +C $
Le altre formule raccolte in tabelle e le tecniche di integrazione come l'integrazione per sostituzione o per parti le puoi trovare su tutti i libri che trattano degli integrali.
L'integrale definito è strettamente legato a quello indefinito e per calcolarlo si ha la seguente formula fondamentale:
$ \displaystyle \int_a^b f(x)dx= \biggl[ \varphi(x) \biggr]_a^b = \varphi(b) -\varphi(a) $
Questo vuol dire che:
se $ \varphi(x) $ è una primitiva di $ f(x) $, l'integrale definito è dato dalla differenza tra i valori che la primitiva assume rispettivamente nell'estremo superiore(b) ed inferiore(a) d'integrazione. Quindi è chiaro che l'integrale indefinito rappresenta una famiglia di funzioni mentre l'integrale definito è un numero!
Passando al tuo esercizio si ha:
$ \displaystyle\int_{-1}^{1}\ (1-x^2)dx= $ $ \displaystyle\biggl[ \overbrace{ x-\frac{x^3}{3} }^{\varphi(x)}\biggr]_{-1}^{1}= $ $ [\overbrace{((1)-\frac{(1)^3}{3})}^{\varphi(b)}-\overbrace{((-1)-\frac{(-1)^3}{3})}^{\varphi(a)}]=[\frac{2}{3}+\frac{2}{3}]=\frac{4}{3} $
Quindi $ \biggl[{ x-\frac{x^3}{3}\biggr]_{-1}^{1} $ esce fuori dal fatto che $ \int1dx= x $ mentre $ \int -x^2dx=-\frac{x^3}{3} $ ed essendo un integrale definito bisogna valutarlo tra gli estremi di integrazione.
Spero che ti sia stato d'aiuto cmq quello che ho scritto è moooooolto sintetico ti consiglio di rivedere il tutto su un buon libro delle superiori tra l'altro gli integrali in statistica sono parecchio presenti....
Es:
$ \displaystyle\int \cos x dx= \sin x $ perché $ D ( \sin x)=\cos x $
Quindi:
$ D[\int f(x)dx]=f(x) $
Gli integrali godono di molte proprietà:
1. $ \displaystyle \int kf(x)dx = k \int f(x)dx $ con $ k $ una costante
es:
$ \displaystyle \int \frac{x}{2}dx= \frac{1}{2} \int x dx $
In parole povere quando c'è una costante(un numero) che moltiplica la funzione integranda ( f(x) ) questa può essere portata fuori dal segno di integrale.
2.$ \displaystyle \int [ f_1(x)+f_2(x) ]dx= \int f_1(x)dx + \int f_2(x)dx $
es:
$ \displaystyle \int [x+x^2]dx= \int xdx + \int x^2dx $
Per farla breve: l'integrale di una somma di più funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni.
NB
Le due proprietà che ho scritto possono essere combinate tra loro quindi si può concludere che l'integrale è un operatore lineare.
Esistono due tipi di integrali: indefiniti e definiti (con i numeri agli estremi del segno di integrazione) Per prima cosa bisogna imparare a calcolare quelli indefiniti:
esistono delle semplici formule(che servono ad integrare funzioni elementari chiamati integrali immediati e bisogna impararle a memoria insieme ad alcune tecniche d'integrazione) ad esempio scrivo quella utile al tuo caso:
$ \displaystyle \int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha +1}+ C $ con $ \alpha \not = -1 $ ( C è una costante che va sempre aggiunta ogni volta che si risolve un integrale indefinito). In particolare $ \int 1dx=x+C $
Ancora:
$ \int \frac{1}{x}dx= \log|x|+C $
$ \int e^xdx=e^x+C $
$ \int \sin x dx= -\cos x +C $
$ \int \cos x= \sin x+C $
$ \int \frac{1}{\cos^2x}= \tan x+C $
$ \int \frac{1}{\sin^2x}= -cot x +C $
Le altre formule raccolte in tabelle e le tecniche di integrazione come l'integrazione per sostituzione o per parti le puoi trovare su tutti i libri che trattano degli integrali.
L'integrale definito è strettamente legato a quello indefinito e per calcolarlo si ha la seguente formula fondamentale:
$ \displaystyle \int_a^b f(x)dx= \biggl[ \varphi(x) \biggr]_a^b = \varphi(b) -\varphi(a) $
Questo vuol dire che:
se $ \varphi(x) $ è una primitiva di $ f(x) $, l'integrale definito è dato dalla differenza tra i valori che la primitiva assume rispettivamente nell'estremo superiore(b) ed inferiore(a) d'integrazione. Quindi è chiaro che l'integrale indefinito rappresenta una famiglia di funzioni mentre l'integrale definito è un numero!
Passando al tuo esercizio si ha:
$ \displaystyle\int_{-1}^{1}\ (1-x^2)dx= $ $ \displaystyle\biggl[ \overbrace{ x-\frac{x^3}{3} }^{\varphi(x)}\biggr]_{-1}^{1}= $ $ [\overbrace{((1)-\frac{(1)^3}{3})}^{\varphi(b)}-\overbrace{((-1)-\frac{(-1)^3}{3})}^{\varphi(a)}]=[\frac{2}{3}+\frac{2}{3}]=\frac{4}{3} $
Quindi $ \biggl[{ x-\frac{x^3}{3}\biggr]_{-1}^{1} $ esce fuori dal fatto che $ \int1dx= x $ mentre $ \int -x^2dx=-\frac{x^3}{3} $ ed essendo un integrale definito bisogna valutarlo tra gli estremi di integrazione.
Spero che ti sia stato d'aiuto
cmq quello che ho scritto è moooooolto sintetico ti consiglio di rivedere il tutto su un buon libro delle superiori tra l'altro gli integrali in statistica sono parecchio presenti....-
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Ponnamperuma
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Confesso la mia discreta ignoranza sul tema "Modi di dire e loro zone di diffusione", tuttavia penso fosse capito lo stesso, almeno a grandi linee! -
MdF