ciao
è data il seguente endomorfismo dello spazio delle matrici nxn
$ f: A \mapsto tr(A)I_n $
dire se è diagonalizzabile e dire quali sono i suoi autovalori.
mio svolgimento:
abbiamo $ Im(f) = \langle I_n \rangle $ pertanto non vi sono $ n^2 $ autovettori linearmente indipendenti. Non è dunque diagonalizzabile.
Per gli autovalori... uno è $ n $ ma non ho capito se ve ne sono altri...
quanti autovalori
quanti autovalori
[url=http://davidpet.interfree.it/renato.html:3r47vsho]Stamattina hanno suonato alla porta. Sono andato ad aprire e...[/url:3r47vsho]
[url=http://davidpet.interfree.it/jabber/index.html:3r47vsho]Guida introduttiva a Jabber[/url:3r47vsho]
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- Nonno Bassotto
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Re: quanti autovalori
Beh, sui complessi ce ne dovranno essere n^2, contati con molteplicità (algebrica). Ci sono matrici che vanno in 0 tramite la tua applicazione?hexen ha scritto:Per gli autovalori... uno è n ma non ho capito se ve ne sono altri...
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ho dimenticato di dire che il campo è quello reale..
un altro autovalore è 0 e il suo autospazio è $ \ker f = \{A \in M_n(\mathbb R): tr(A)=0\} $ che ha dimensione $ n^2-1 $...
Per quanto riguarda l'autospazio $ V_n $ posso solo dire che $ \langle I \rangle \subseteq V_n $ e poi? non sono neppure sicuro dell'uguaglianza di insiemi ma sarà l'ora tarda...
e poi come vedo se ci sono altri autovalori?
infatti non è iniettiva se l'immagine ha dim =1 (mi rendo conto delle cagate scritte nel primo post )EvaristeG ha scritto:Ah, poi non è detto che una cosa diagonalizzabile debba essere iniettiva : prendi la proiezione su una retta : la sua immagine è esattamente lo span di un vettore, ma l'applicazione è diagonalizzabile.
un altro autovalore è 0 e il suo autospazio è $ \ker f = \{A \in M_n(\mathbb R): tr(A)=0\} $ che ha dimensione $ n^2-1 $...
Per quanto riguarda l'autospazio $ V_n $ posso solo dire che $ \langle I \rangle \subseteq V_n $ e poi? non sono neppure sicuro dell'uguaglianza di insiemi ma sarà l'ora tarda...
e poi come vedo se ci sono altri autovalori?
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sarà forse che al mattino sparo meno cazzate
Dalle dimensioni degli autospazi e dal aftto che sono disguinti si ha che $ $M_n(\mathbb R) = \ker f \oplus \langle I_n \rangle = V_0 \oplus V_n$ $, quindi f è diagonalizzabile e si ha inoltre $ sp(f) = \{0,n\} $
giusto?
Dalle dimensioni degli autospazi e dal aftto che sono disguinti si ha che $ $M_n(\mathbb R) = \ker f \oplus \langle I_n \rangle = V_0 \oplus V_n$ $, quindi f è diagonalizzabile e si ha inoltre $ sp(f) = \{0,n\} $
giusto?
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