Max e Min relativi e assoluti di funzioni a 2 variabili

[Apocalisse86]

Premetto che forse sto per scrivere una marea di sciocchezze ma si sa che : "Errare humanum est" e che "Errando discitur"..... !!

Dire quadrato di vertici $ A=(0,1) $ , $ B=(1,1) $ , $ C=(1,0) $ e $ O=(0,0) $ corrisponde ad impostare il seguente sistema:

$ \left \{ \begin{array}{llll}x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x-1 \leq 0 \\ y-1 \leq 0 \end {array}\right. $
Che corrisponde al vincolo.

Poi si prosegue determinando eventuali punti critici liberi di $ f(x,y) = 5y(x^2-1) + 2y^2 - 1 $ proprio come hai fatto tu, ossia, mettendo a sistema le derivate prime parziali:

otteniamo quindi i punti $ (0, \frac{5}{4}) $ , $ (-1,0) $ , $ (1,0) $

I primi due punti poiché non appartengono alla regione di piano che ci interessa($ \not \in ABCO $) li trascuriamo. L'unico punto interessante è $ (1,0) $ che sta sulla frontiera(corrisponde al vertice C del quadrato) quindi ora il problema consiste nel calcolare questo max o min vincolato.
Per prima cosa esplicitiamo una funzione del vincolo: $ x-1=0 \rightarrow x=1 $ e questo valore lo sostiuiamo nella funzione ottenendo:
$ z=2y^2-1 $ la sua derivata prima è $ z'=4y $che si annulla per $ y=0 \in ABCO $ ed è quindi un estremante poi $ z''=4>0 $ quindi questo estremante è un punto di minimo.Quindi per $ f(x,y) $ si ha un minimo $ z=-1 $ in $ (1, 0) $

Ripeto ci ho solo provato.... non garantisco la correttezza dello svolgimento se ho solo scritto un mucchio di fesserie potete cancellare questa risposta o non considerarla!!!e poi non ero molto bravo con le funzioni di due variabili, ho solo detto la mia, se ho sbagliato(al 90% ) perdonatemi !!!

[Sosuke]

Ti ringrazio.. sempre meglio di niente è... e poi se nessuno corregge evidentemente è esatto così....

[teppic]

Perché un punto interno al quadrato (non sul bordo) sia un minimo relativo (a fortiori se è assoluto) deve essere un punto critico. Non ci sono punti critici interni al quadrato, quindi il minimo sta sul bordo.

Sul bordo il problema ha una dimensione in meno, nel nostro caso ha una dimesione sola, quindi si studia con tecniche di analisi 1.

Occorre studiare la funzione sui quattro segmenti che formano i lati del quadrato.

Il lato x=1, 0<=y<=1 l'ha già studiato apocalisse: la funzione è ua parabola, il minimo si ha per y=0 e vale -1.

Sul lato x=0, 0<=y<=1 la funzione è la parabola $ 2y^2-5y-1 $ che avrebbe minimo in $ y=5/4 $ che è fuori dall'intervallo: per come è fatta una parabola vuol dire che nell'intervallo il minimo si ha sul bordo per $ y=1 $, dove la funzione vale -4.

Sul lato y=1, 0<=x<=1 la funzione è la parabola $ 5x^2-4 $ che ha minimo -4 per $ x=0 $

Sul lato y=0, 0<=x<=1 la funzione vale costantemente -1.

Morale: il minimo è -4 e viene assunto nel punto $ (0,1) $.

[Apocalisse86]

ho capito .....ora ci sono pure io....

[Sosuke]

vi ringrazio... ho capito... pensavo invece... se la frontiera... anzicchè essere una retta fosse una curva... non so.. un cerchio... un semicerchio... come devo studiae la funzione?

Penso che devo sapere l'equazione della curca.. del cerchio.. di quello che sia... se è così.. qual è quest'equazione?

[Apocalisse86]

Se non sbaglio si possono utilizzare il metodo della parametrizzazione del bordo oppure puoi utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Con il primo se ad esempio devi cercare i punti critici vincolati di f(x; y) sul bordo di D dove D è dato da
$ x^2+y^2 \leq 1 $ parametrizzi questa circonferenza $ \left\{ \begin{array}{r} x= \cos (t) \\ y= \sin (t) \end{array} \right. $
per $ t \in [ 0;2\pi) $
sostituisci $ x= \cos (t) $ e $ y= \sin (t) $ nella funzione $ f(x,y) $,calcoli la derivata di questa nuova funzione in t e la poni uguale a zero. Trovato il valore di t (quelli che non appartengono all'intevallo dove la t può variare non si accettano) lo sostituisce nella parametrizzazione del bordo e trovi (x,y), questi valori sostituiti nella $ f(x,y) $ ci fanno determinare il max o il min assoluto e quanto valgono...

spero di non aver commesso errori e se li ho fatti chiedo scusa in anticipo e spero che qualcuno li corregga.....ho già detto infatti che non ero bravissimo nelle funzioni a due variabili

[Sosuke]

Rieccomi.. ho avuto problemi con il PC... quindi.. facciamo un esempio... molto semplice (per voi )
La funzione è$ f(x,y)=xy $ nel semicerchio $ x^2+y^2 \le 1 $, $ y\ge 0 $... al solito devo trovare il max e min assoluti...

Quindi.. ecco come svolgo... come diceva apocalisse trasformo la mia $ x $ e la mia $ y $... quindi la funzione mi diventa $ f(t)=cos(t)*sin(t) $....

A questo punto mi calcolo una normalissima derivata che nel mio caso diventa $ f'(t) = -sin^2(t) + cos^2(t) $


I punti in cui la derivata si annulla sono 4...
$ f'(t)=0 $ con $ t=\displaystyle\frac{\pi}{4} $,
$ t=3\displaystyle\frac{\pi}{4} $,
$ t=\displaystyle5\frac{\pi}{4} $ e
$ t=\displaystyle7\frac{\pi}{4} $


Gli ultimi 2 li devo escludere perchè equivarrebe a dire $ y<0 $... invece l'esercizio richiede $ y \ge 0 $


Spero che fino a qui sia tutto esatto e che qualcuno mi possa dare conferma o meno

Ora come devo continuare?

[Apocalisse86]

Quando si parametrizza una curva si deve fissare l'intervallo in cui varia $ t $ in questo caso, dato che devi parametrizzare un semicerchio, avremo che $ t\in [0;\pi] $ quindi, una volta eseguiti i vari passaggi che hai riportato, gli unici valori che annullano la derivata da tenere in conto sono: $ t=\frac{\pi}{4} $ e $ t= \frac{3\pi}{4} $ perchè $ \in [0;\pi] $ , gli altri non stanno in questo intervallo e non si considerano.
Ora sostituisci $ t=\frac{\pi}{4} $ in $ \displaystyle \left\lbrace \begin{array}{c} x=\cos(\frac{\pi}{4}) \\ y=\sin(\frac{\pi}{4}) \right. \end{array} $ ottenendo $ \displaystyle \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ mentre per $ t= \frac{3\pi}{4} $ ottieni $ \displaystyle \left( -\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. La prima coppia sostituita nella funzione $ \displaytsyle f(x,y)=xy \rightarrow f\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2} $ mentre la seconda $ f\left( -\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2} $ quindi si ha un massimo assoluto $ \displaystyle z=\frac{1}{2} $ in $ \displaystyle \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ mentre un minimo assoluto $ \displaystyle z=-\frac{1}{2} $ in $ \displaystyle \left( -\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

Spero che sia tutto esatto ....se hai ancora dubbi...

[Sosuke]

No... sei stato chiarissimo.... penso che a questo punto ci sono... grazie ancora...

[Harris]

Allora ragazzi...io ho un problema..
per quanto riguarda il calcolo degli estremi relativi...
io ho la seguente funzione f(x,y)=y("al quadrato")+"x("al cubo")

Come potrete notare la funzione è piuttosto semplice..
per quanto rigurda il calcolo del punto critico il problema nn si pone, però quando faccio il calcolo della matrice Hessiana il determinata mi viene uguale a zero...e cosa devo fare? nn è ne un minimo ne un massimo relativo...cosa devo fare? Cosa devo fare quando la matrice Hessina è uguale zero?

[SkZ]

la funzione $ ~ f(x,y)=x^3+y^2 $ non masimi o minimi relativi
in (0,0) ha un punto di sella, infatti se controlli lungo l'asse delle x (y=0) noterai che non presenta massimi o minimi

[Harris]

la funzione $ ~ f(x,y)=x^3+y^2 $ non masimi o minimi relativi
in (0,0) ha un punto di sella, infatti se controlli lungo l'asse delle x (y=0) noterai che non presenta massimi o minimi

Grazie mille

[Harris]

e a questo punto la funzione $ ~f(x,y)=x^2y+y^2 $ non ha ne massimi ne minimi relativi...
il punto critico della funzione è (0,0) e l'Hessiano viene uguale a 0.
Giusto?

[SkZ]

mi sa proprio di si'
questa e' una di quelle classiche funzioni rompi...
primo tentativo: $ ~ y=mx $ allora
$ ~ f(x)=mx^3+m^2x^2 $ $ ~ f'=3mx(x+\frac{2m}{3})\; f'(0)=0 $ $ ~ f''=6m(x+\frac{m}{3}) \quad f''>0 \left\{ \begin{array}{ll}m>0 & x>-\frac{m}{3} \\ & \\ m<0 & x<\frac{|m|}{3} \end{array}\right. $
sembrerebbe che in (0,0) ci sia effettivamente un minimo, ma per $ ~ y=ax^2 $
$ ~ f(x)=a(a+1)x^4 $ $ ~ f'=4a(a+1)x^3\; f'(0)=0 $ $ ~ f''=12a(a+1)x^2 \quad f''>0 \; (x\neq 0) \; a(a+1)>0 \Rightarrow a>0 \lor a<-1 $
in un intorno di (0,0) per certe relazioni tra x e y abbiamo o un minimo o un massimo

per $ ~ y=ax^\alpha \; \alpha>2 $ si nota poi che in 0 c'e' un flesso.

[Harris]

ma perdona la domanda forse un po stupida...
quindi nel caso in cui l'Hessiano è uguale a zero, l'unico modo per vedere se ci sono massimi e minimi relativi è di sostituire $ ~ y=mx $ o $ ~ y=ax^2 $ ?