induzione esponenziale

[Ponnamperuma]

Propongo questo esercizio, che ho trovato sulle dispense di TdN di David Santos (grazie del link, fph!). Era però nel capitolo sull'induzione, quindi lo posto qui...

Siano $ \displaystyle a_1=3 $ e $ \displaystyle b_1=4 $ . $ \displaystyle a_n=3^{a _{n-1}} $ e $ \displaystyle b_n=4^{b _{n-1}} $ .
Si dimostri per induzione che $ \displaystyle a_{1000}>b_{999} $ .

Se poi aveste altre dimostrazioni, non per induzione, non esitate a postarle...
Grazie e ciao!

[Ponnamperuma]

mmmh... devo concludere che il problema fa schifo a tutti? Dai, datemi soddisfazione!

[piever]

Invece è caruccio come problema...

Induzioncina:

PASSO BASE:

$ \frac {a_2}{2}>b_1 $

PASSO INDUTTIVO:

$ \frac {a_{n}}{2} > b_{n-1} $ implica $ \frac {a_{n+1}}{2} > b_{n} $

DIMOSTRAZIONE:

$ \frac {a_{n+1}}{2}=\frac {9^{\frac {a_{n}}{2}}}{2}>4^{b_{n-1}}= b_{n} $

Se non si capisce chiedete.

Ciao!

[Ponnamperuma]

Esegesi (:D): $ \displaystyle a_{n+1}=3^{a_n}=(3^\frac{a_n}{2})^2=(3^2)^\frac{a_n}{2}=9^\frac{a_n}{2} $.
Ma $ \displaystyle \frac{9^\frac{a_n}{2}}{2}>\frac{9^{b_{n-1}}}{2} $, che a sua volta è sempre maggiore di $ \displaystyle 4^{b_{n-1}}=b_n $.

Perfetto... complimenti e grazie!

EDIT: Migliorata l'apparenza delle formule a tanti piani!