Queste dovrebbero essere le soluzioni corrette del questionario con relativa dimostrazione! Mi sono preso la briga di fare questo lavoro anche per impratichirmi con il LaTeX. Per le soluzioni dei problemi credo sia un lavoro un po' più complicato.....magari ha voglia di farlo qualcun altro!
1. Probabilità di determinare un triangolo rettangolo prendendo a caso tre punti qualsiasi di un 40-agono regolare.
Dato un qualsiasi $ $n $- agono regolare, $ $n $ pari, $ $n>2 $.
I diversi modi di prendere a caso tre punti a caso su $ $n $ punti, sono le combinazioni di 40 elementi a 3 a 3, cioè $ $C(n;3) = \binom{n}{3}=\frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $ triangoli qualunque.
Si considerano le $ $\frac{n}{2} $ diagonali del $ $n $- agono che siano anche diametri della circonferenza circoscritta; per ognuno di essi ci sono quindi $ $n-2 $ punti "buoni" per ottenere un triangolo rettangolo. In totale sono quindi $ $\frac{n(n-2)}{2}. $
Il rapporto fra triangoli rettangoli e triangoli qualunque vale quindi $ $\frac{\frac{n(n-2)}{2}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{3}{n-1} $.
Se $ $n=40 $, $ $\frac{3}{40-1} = \frac{3}{39} = \frac{1}{13} $.
2. Se un dado è equilibrato, cioè ogni numero può uscire con la stessa probabilità, e un altro dado è truccato, cioè alcuni numero escono con maggiore probabilità di altri, qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti dai due dadi sia pari?
Dati i dadi $ d_1 $ (equilibrato) e $ d_2 $ (truccato), le probabilità $ $p $ e $ $d $ che esca un numero pari o dispari sono:
$ $p_{d_1}=\frac{1}{2} $ ;
$ $d_{d_1}=\frac{1}{2} $ ;
$ $p_{d_2}=\frac{1}{n} $ ;
$ $d_{d_2}=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n} $ .
La probabilità che la somma dei numeri usciti sia pari è $ $p_{d_1}p_{d_2} + d_{d_1}d_{d_2}=\frac{1}{2n}+\frac{n-1}{2n}=\frac{1+n-1}{2n}=\frac{1}{2} $ .
3. Quante sono le diagonali di un prisma a base pentagonale? (per diagonali si intendono i segmenti che uniscono due vertici non appartenenti a una stessa faccia).
Considerato un qualsiasi prisma a base $ $n $ - agonale, si osserva ognuno degli $ $n $ vertici di una delle due basi è congiungibile con $ $n-3 $ vertici dell'altra base (poichè uno giace sullo stesso spigolo e gli altri due consecutivi a quest'ultimo hanno in comune una faccia).
Esistono quindi $ $n(n-3) $ diagonali.
Se $ $n=5 $ , $ 5(5-3) = 5 X 2 = 10 $ .
4. In una scacchiera $ $5 X 5 $ ci sono $ $25 $ lampadine, tutte spente, ognuna con un interruttore. Premendo un interruttore si fanno cambiare di stato (acceso/spento) la lampadina stessa e tutte le lampadine della stessa riga e della stessa colonna. Qual è il minor numero di interruttori da premere per far accendere tutte le $ $25 $ lampadine?
Non so come generalizzare bene l'argomento, comunque..... si osserva che per accendere tutte le lampadine bisogna fare in modo che su ogni quadratino della scacchiera valga la proprietà
la somma degli interruttori premuti sulla stessa riga e sulla stessa colonna (e sul quadratino stesso) è dispari.
Per coprire almeno tutte le righe o tutte le colonne bisogna premere almeno $ $5 $ interruttori, e si verifica facilmente che $ $5 $ interruttori premuti in fila (in qualsiasi riga o colonna) soddisfano la proprietà suddetta.
5. Per quanti interi positivi $ $m $ , $ $m^2 + 3m $ è un quadrato perfetto?
$ $m^2 + 3m = (m+k)^2 $ ;
$ $m^2 + 3m = m^2 + 2mk + k^2 $ ;
$ $3m = 2mk + k^2 $ ;
$ $3m - 2mk = k^2 $ ;
$ $(3 - 2k)m = k^2 $ ;
$ $m = \frac{k^2}{3 - 2k} $ ;
Poichè $ $m>0 $, $ $k<\frac{3}{2} $ ; $ $k=1 $ (unico valore possibile);
$ $m=1 $ è l'unica soluzione per cui $ $1^2 + 3 = 4 = 2^2 $ .
6. $ $ABC $ è la base di un tetraedro $ $ABCV $ i cui spigoli laterali $ $AV $, $ $BV $, $ $CV $ sono congruenti. Dove cade la proiezione ortogonale di $ $V $ sulla base $ $ABC $?
Detta $ $O $ la proiezione ortogonale di $ $V $ sulla base $ $ABC $, le distanze $ $OA $ , $ $OB $ e $ $OC $ sono tutte congruenti per il teorema di pitagora. Il punto equidistante dai vertici di un triangolo è il punto di incotro degli assi dei lati, cioè il
circocentro.
Si osserva inoltre che se gli spigoli laterali $ $AV $, $ $BV $, $ $CV $ sono congruenti, allora appartengono alla superficie laterale del cono retto che ha per base la circonferenza circoscritta alla base $ $ABC $. La proiezione ortogonale di $ $V $ cade quindi nel centro $ $O $ di tale circonferenza, ovvero il
circocentro di $ $ABC $.
7. In un'isola vivono infiniti abitanti $ $a_0, a_1, a_2, a_3 ...... a_n $, che sono cavalieri (e quindi dicono sempre la verità) oppure sono furfanti (e quindi dicono sempre bugie). Tutti gli abitanti con indice pari dicono "C'è un numero finito di cavalieri". Cosa si può dedurre?
Gli
infiniti abitanti con indice pari che dicono "C'è un numero finito di cavalieri" sono necessariamente della stessa specie, poichè dicono la stessa affermazione (Un cavaliere e un furfante non potrebbero affermare la stessa cosa).
Non possono essere tutti cavalieri, perchè altrimenti direbbero una bugia; quindi sono tutti furfanti, e sono infiniti.
Poichè hanno detto una bugia, negando la loro affermazione si ottiene "Non c'è un numero finito di cavalieri", ovvero
c'è un numero infinito di cavalieri.
Ci sono quindi infiniti cavalieri e infiniti furfanti (Tutti gli abitanti con indice pari sono furfanti, mentre non tutti gli abitanti con indice dispari sono cavalieri, benchè siano infiniti).
8. Detto $ $a_n $ l'ultima cifra di $ $3^n $ quanto vale la somma $ $S=a_1+a_2+a_3.......+a_{2006} $ ?
$ $a_1=3 $
$ $a_2=9 $
$ $a_3=7 $
$ $a_4=1 $
e elementarmente:
$ $a_{4k+1}=3 $
$ $a_{4k+2}=9 $
$ $a_{4k+3}=7 $
$ $a_{4k+4}=1 $
Poichè $ $2006 : 4 = 501 $ con il resto di $ $2 $,
$ $S=501(3+9+7+1)+3+9=501X20+12= $$ $10020+12=10032 $
9. Alice e Fabio giocano al seguente gioco: uno dei due dice un numero naturale e l'altro deve rispondere con un altro naturale tale che sia la somma di due divisori fattorizzanti il numero detto dall'altro giocatore (e non può essere maggiore). Perde il giocatore che non può dire più nessun numero.
Alice dice $ $45 $, cosa si può dedurre?
Si deduce che vince il giocatore che dice per primo un numero
primo (ops
).
Se Alice dice $ $45 $, Fabio può rispondere con $ $5+9=14 $ oppure con $ $3+15=18 $ .
- Al $ $14 $ Alice può rispondere solo con $ $2+7=9 $ ; Fabio è obbligato a rispondere con $ $3+3=6 $ ; Alice è obbligata a rispondere con $ $2+3=5 $ e vince.
- Al $ $18 $ Alice può rispondere con $ $2+9=11 $ (e vincerebbe subito), oppure con $ $3+6=9 $, al che Fabio sarebbe obbligato a rispondere con $ $3+3=6 $ e Alice vincerebbe con la scelta obbligata $ $2+3=5 $ .
Quindi Alice vince in ogni caso.
10. Sia una funzione $ $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ crescente (cioè che $ $f(n+1)\ge f(n) $) e tale che $ $f(12)=9 $.
Si sa che vale la proprietà $ $f(f(n))=f(n^2) $. Quanto vale $ $f(2006) $?
$ $f(f(12))=f(12^2) $ ;
$ $f(9)=f(144) $ ;
$ $f(144)\ge f(12) \ge f(9) = 9 $ ; quindi
$ $f(144)=f(12)=f(9)=9 $ , cioè è costante in $ $[9,144] $ ;
$ $f(144^2)=f(9)=9 $ , $ $f(20736)=f(9)=9 $ cioè è costante in $ $[9,20736] $ .
$ $f(2006)=9 $ .
SE TROVATE QUALCHE ERRORE FATEMI SAPERE!!!
