Max e Min relativi e assoluti di funzioni a 2 variabili

[SkZ]

un modo e' di controllare come si comporta la funzione su certi cammini (o sotto-varieta' del dominio): se un punto e' veramente un estremo relativo, lo sara' per qualunque cammino di cui fa parte.
Non mi ricordo se c'e' qualche metodo piu' sofisticato: potrebbe essere controllare come variano gli auto valori della matrice hessiana in un intorno del punto in questione (nella tua funzione gli auto valori erano $ ~ (y+1)\pm \sqrt{4x^2+(y-1)^2} $ ): per x=0 sia {2y,2} e si nota che attorno allo zero non sono sempre entrambi positivi. Ma non sono certo, meglio se qualche matematico ci da' conferma.


ps: il determinante di una matrice e' pari alprodotto dei suoi autovalori

[Sosuke]

Stavo provando a fare un'altra funzione in cui trovare massimi e minimi assoluti di una funzione... la funzione è la seguente:

$ \displaystyle\frac{x-2y-5}{x} $ che ha il dominio in $ R^2-\{x=0\} $ (si può scrivere così il dominio??boh)

comunque... derivando mi viene:
$ f'_x(x,y)=\displaystyle\frac{2y+5}{x^2} $
$ f'_y(x,y)=\displaystyle-\frac{2}{x} $

Ora dovrei cercare i punti in cui si annulla il sistema ma punti non ce n'è...

lo stesso vale quando faccio la ricerca dei max e minimi sulle frontiere... ma in più mi rimane quella x al denominatore... come mi devo comportare?

[SkZ]

meglio scrivere $ ~ \mathbb{R}^*\times \mathbb{R} $ o $ ~ \mathbb{R}\setminus\{0\}\times \mathbb{R} $

effettivamente non ha massimi o minimi

[Sosuke]

quindi è una funzione costante? cioè.. se non ha massimi o minimi dovrebbe essere un piano orizzontale... esatto?

[Apocalisse86]

Io la penso come SkZ dato che la condizione necessaria ma non sufficiente affinché una funzione $ z=f(x,y) $, derivabile parzialmente rispetto a $ x $ e a $ y $, abbia un un massimo o un minimo in un punto $ P_0(x_0;y_0) $ del suo dominio è che le sue derivate parziali in $ P_0(x_0;y_0) $ siano contemporaneamente nulle:
$ \displaystyle \left\lbrace \begin{array}{c} f'_x(x_0;y_0)=0 \\ f'_y(x_0;y_0)=0 \end{array} \right. $
Ma nel nostro caso questo sistema non ha soluzioni $ \left[ \varnothing \right] $ quindi non esistono massimi e minimi per questa funzione. Spero che sia tutto corretto...

ps
non necessariamente una funzione che non ha massimo o minimi è una funzione costante...prendi la funzione $ z= x^3 -40x +20y $, procedi al solito modo calcolando le derivate prime parziali,e otterai che questa funzione, come quella che hai proposto tu, non ha semplicemente punti estremanti!

[SkZ]

non avere amssimi e minimi e essere costante sono due cose nettamente diverse.
una funzione costante ha $ \displaystyle \forall (x;y) \;\frac{\partial f}{\partial x}=0\; \frac{\partial f}{\partial y}=0\; $
molto semplicemente non ha massimi o minimi come ad es. non ce l'hanno tutte le funzioni crescenti sia in x che in y (i.e. equazione del piano x+y)

[Sosuke]

ah ok... ci sono grazie ancora

[Sosuke]

la mia Hessiana è nulla (si dice così? ) cioè i suoi 4 valori sono tutti 0!!!! che devo fare? è un punto di sella? o devo studiare quel punto in qualche altro modo?

[SkZ]

a occhio la tua funzione dovrebbe essere $ ~ ax+by $, quindi un piano, quindi non ha masssimi o minimi (non esiste un punto del dominio il cui valore e' estremante per i valori dei punti appartenenti ad un suo intorno)

[Sosuke]

ehm.. parli della funzione scritta sopra?


è un altra quella che mi da l'hessiana tutta 0... esattamente questa...
$ f(x,y) =x^3 +xy^2+y^2x^2 $

nel punto (0,0) l'hessiana è tutta 0.. poi ho trovato due punti di sella... ma comunque.. il problema è li...nel punto (0,0)

[SkZ]

preso y=0 (asse delle x) la funzione non presenta estremi, quindi i punti (x,0) non sono estremi per la funzione

[SkZ]

Ricordate la semplice regola

un punto e' di massimo o minimo relativo per una funzione se il valore della sua immagine atraverso la funzione e' estremante per i valori delle immagini dei punti appartenenti ad un suo intorno

quindi preso un cammino che passa per un dato punto, se la funzione non presenta massimo o minimo in quel punto lungo quel percorso non lo presenta anche nel caso piu' generale

[Sosuke]

e quindi anche il punto (0,0) è un punto di sella???

[SkZ]

direi di si'

[Harris]

$ f(x,y) =x^4 +x^2y+y^2+3 $

anche in questo caso Hessiano uguale a zero.
Se pongo y=0 ?
sono sull'asse delle x, e quindi? come faccio a capire se ci sono massimi o minimo relativi?