Quante intersezioni

[pi_greco_quadro]

Sia $ A=\{1,2,\cdots,2006\} $. Trovare il massimo numero di sottoinsiemi di $ A $ tali che ,$ \forall i,j $, $ |B_i\cap B_j|=2004 $, dove $ B $ e' sottoinsieme di $ A $.

[SkZ]

non dovrebbe esssere i sottoinsiemi di $ ~ A\setminus \{2004\} $ a cui aggiungo poi {2004}

[pi_greco_quadro]

mmhh... quindi in definitiva dando un valore numerico?

[EvaristeG]

SkZ, no!
Prendi per semplicità A={1,2,3,4,5} e 3 al posto di 2004.
Tra i sottoinsiemi di A-{3} ci sono, ad esempio {1,2,4} e {1,2,5}; se a questi aggiungo 3, ottengo {1,2,3,4} e {1,2,3,5} che intersecati fanno {1,2,3} e non {3}.

[SkZ]

e' vero. ho dato quando $ \{2004\}\subseteq B_i\cap B_j $ che e' ben diverso da $ B_i\cap B_j=\{2004\} $

[frengo]

se ho capito da dove hai preso questo problema(e sono quasi sicuro, visto che hai preso da lì anche la disuguaglianza) il testo dice $ |B_i\cap B_j|=2004 $, che è ben diverso....

comunque per il problema che hai postato tu credo proprio che la risposta sia 2006....perchè ogni elemento apparte 2004 può comparire solo in un insieme, quindi la configurazione migliore sono tutti gli insiemi {n;2004} e l'insieme {2004}.

ciao ciao

[SkZ]

$ |B_i\cap B_j|=2004 $

che sarebbe? il numero di elementi per caso?

[EvaristeG]

Sì, |A| è la cardinalità dell'insieme A ... in questo modo, cambia tutto...

[SkZ]

il ragionamento dovrebbe essere simile al caso precedente:
definisco wlog $ ~ B_0=\{1, \dots, 2004\} $ e poi definisco i successivi come $ ~ B_i=B_0 \cup \{2004+i \} $ quindi 3 insiemi
Se non vado errato, anche stavolta

[pi_greco_quadro]

Chiedo venia frengo.... hai ragione e provvedo subito a correggere... e comunque è ovviamente giusto il tuo ragionamento... 2005+1=2006... k!!

comunque il risultato per quel che mi riguarda è sempre 2006 oppure ho fatto un errore?

[frengo]

allora:

1)ogni insieme ha almeno 2004 elementi.

2)se c'è un insieme da 2004 elementi, tutti gli altri insiemi devono contenerlo,quindi il numero di insiemi è minore o uguale a tre.

3)se c'è un insieme da 2006 elementi, ogni altro insieme deve avere 2004 elementi(e quindi si torna al punto 2) )

4)se non ci sono insiemi nè da 2004 nè da 2006 elementi, gli insiemi possono essere solo da 2005 elementi, quindi al massimo possono essere 2006(tutti gli insiemi da 2005 elementi). questa configurazione, cioè tutti gli insiemi da 2005 elementi, in effetti soddisfa l'ipotesi, quindi il massimo è 2006.

bonus question:

trovare il massimo di sottoinsiemi se si cambia l'ipotesi con $ |B_i\cap B_j|=2003 $

ciao ciao