Max e Min relativi e assoluti di funzioni a 2 variabili

[Sosuke]

penso che nn ce n'è... se ho capito bene... ponendo y=0 anche nel tuo caso scegliendo x sempre più grande, la tua funzione sarà sempre più grande, quindi tendendo a + infinito...

almeno.. questo è quello che sono iuscito a capire io.. quindi magari se c'è qualcuno che conferma o meno è meglio...

[SkZ]

$ ~ f(x,y) =x^4 +x^2y+y^2+3 $ ha chiaramente un minimo assoluto dato che e' continua e per $ \displaystyle \lim_{\rho\rightarrow \infty}f(x,y)\rightarrow +\infty $.
Comunque e' decisamente un funzione interessante: sarebbe una funzione convessa se non fosse per una concavita' che si genera in (0,0) e va verso le y negative ( f(x,y)=c ha la forma di un cuore). Questo causa un piccolo problema nella matrice hessiana che non risulta sempre positiva in un intorno di (0,0)

curiosita': consideriamo $ ~ g(x,y) =x^4 +x^2y+y^2 $se poniamo $ ~ y=ax^2 $ e sostituiamo otteniamo $ ~ g(x)=(a^2+a+1)x^4\ge0\; \forall x,a $
dato che si puo' dimostrare che ogni punto del piano appartiene ad una parabola con vertice nell'origine si vede che la funzione assume solo valori positivi o nulli, ergo ...


edit: sistemato una distrazione

[Sosuke]

Ah quindi ci dovrebbe essere un minimo assoluto che assume valore 0... no?

[SkZ]

valore=3 (vedi correzione al mio post precedente)

[Sosuke]

ah si si scusa.. vero...

[Sosuke]

Tornando un secondino appena alla mia funzione che era $ f(x,y) =x^3 +xy^2+y^2x^2 $ avevi detto che

preso y=0 (asse delle x) la funzione non presenta estremi, quindi i punti (x,0) non sono estremi per la funzione

ma non posso prendere invece i punti (0,y) ??? in questo caso ci dovrebbe essere un minimo in y=0...

O non posso farlo?

[SkZ]

Torno a ripetere

Ricordate la semplice regola

un punto e' di massimo o minimo relativo per una funzione se il valore della sua immagine atraverso la funzione e' estremante per i valori delle immagini dei punti appartenenti ad un suo intorno

quindi preso un cammino che passa per un dato punto, se la funzione non presenta massimo o minimo in quel punto lungo quel percorso non lo presenta anche nel caso piu' generale

gli estremi devono essere presenti per tutti i cammini che passano per quel punto, non per almeno uno, altrimenti tutti i punti sarebbero estremi

[Harris]

$ ~ f(x,y) =x^4 +x^2y+y^2+3 $ ha chiaramente un minimo assoluto dato che e' continua e per $ \displaystyle \lim_{\rho\rightarrow \infty}f(x,y)\rightarrow +\infty $.
Comunque e' decisamente un funzione interessante: sarebbe una funzione convessa se non fosse per una concavita' che si genera in (0,0) e va verso le y negative ( f(x,y)=c ha la forma di un cuore). Questo causa un piccolo problema nella matrice hessiana che non risulta sempre positiva in un intorno di (0,0)

curiosita': consideriamo $ ~ g(x,y) =x^4 +x^2y+y^2 $se poniamo $ ~ y=ax^2 $ e sostituiamo otteniamo $ ~ g(x)=(a^2+a+1)x^4\ge0\; \forall x,a $
dato che si puo' dimostrare che ogni punto del piano appartiene ad una parabola con vertice nell'origine si vede che la funzione assume solo valori positivi o nulli, ergo ...


edit: sistemato una distrazione

non riesco a capire la logica che adotti...
cosa devo fare? come fai a capire che c'è sicuramente un minimo relativo ?

[Sosuke]

Se ho capito bene, in questa funzione, nel punto (0,0) l'hessiana vale 0...

Ora secondo quell che ci diceva SkZ.... poni y=0 e studia la funzione nel cammino (x,0) ... la funzione ti diventa
$ f(x,0) =x^4 +3 $

di conseguenza per qualunque x prendi in considerazione la funzione nel cammino (x,0) sarà sempre positiva assumendo un valore minimo quando x=0.. in quel punto la funzione vale 3..

f(0,0) = 3

penso che in quel cammino la funzione assuma una forma parabolica....

Ho capito tutto il concetto SkZ?

[Sosuke]

Nella funzione $ f(x,y) = \displaystyle\frac{x-2y-5}{x} $

le cui derivate sono:
$ f'_x(x,y) = \displaystyle\frac{2y+5}{x^2} $ e
$ f'_y(x,y) = \displaystyle\frac{-2}{x} $

non ci sono punti di massimo e minimo perchè la seconda derivata non si annulla mai.. giusto?

[Harris]

Nella funzione $ f(x,y) = \displaystyle\frac{x-2y-5}{x} $

le cui derivate sono:
$ f'_x(x,y) = \displaystyle\frac{2y+5}{x^2} $ e
$ f'_y(x,y) = \displaystyle\frac{-2}{x} $

non ci sono punti di massimo e minimo perchè la seconda derivata non si annulla mai.. giusto?

io ho trovato un punto di sella...il determinante mi è venuto minore di zero. Però nn assicuro nulla su i miei calcoli

[Sosuke]

e come hai fatto? al solito non si dovrebbe annullare il sistema?

[Harris]

e come hai fatto? al solito non si dovrebbe annullare il sistema?

ho fatto il sistema è ho trovato un punto critico $ [tex] $~P(0,0) $ [tex] $ dopodiché mi sono trovao le derivate seconde rispettivamente in funzione di x e y, e quella mista.
l'hessiano in fine mi viene minore di zero quindi ho trovato un punto di sella.
Sempre se i calcoli sono giusti

[Sosuke]

ma ci può essere un punto critico in (0,0) ???

In x=0 la funzione non esiste... e così le sue derivate...

[SkZ]

si puo' dimostrare che una funzione $ ~ \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} $ continua, se diverge in tutti i punti punti all'infinito a piu' (o meno) infinito allora ha almeno un minimo (massimo) assoluto.

si puo' vedere che la funzione (con opportune traslazioni) diventa $ ~ f(x,y)=\frac{2y}{x} $ che non ha ovviamente estremi (lo si vede ad occhio).

Se una funzione in un punto non e' definita (il punto non appartiene al dominio), allora ivi non puo' avere estremi.
Se una funzione in un punto diverge, tale punto non puo' essere di estremo.
Ricordate che $ ~ \mathbb{R} $ non include i suoi estremanti, $ ~ \tilde{\mathbb{R}} $ invece si', ma le vostre funzioni non sono definite su di lui.


[trip mode]
ragazzi, ricordate che la matematica e' arte! Gli strumenti non vanno solo imparati ma anche capiti a fondo e apprezzati.
L'analisi va usata per apprezzare le funzioni, per capirle a fondo, non per fare un mero esercizio.
La risoluzione di problemi matematici spesso e' un fatto di sensazioni.
Riferendomi allo sfogo di MindFlyer sulla correzione del test allo stage, Non serve a niente imparare ricette su ricette, a meno che a voi interessi solo passare l'esame e non che vi rimanga qualcosa. Si possono imparare a memoria quanti libri di ricette che si vuole, ma questo non aiuta a essere dei buoni cuochi.
[/trip mode]
I suggerimenti che vi diamo non vanno presi come dei sistemi onnipotenti da riutilizzare pedissequamente nella prossima funzione, ma come degli esempi di modi di affrontare certi problemi: se con una funzione ponendo x=0 si scopre che in (0,0) non ci sono estremi, non vuol dire che valga per un'altra funzione (sopratutto se posto x=0 la funzione risulta avere un estremo cio' non vuol dire che ci sia realmente)