Potenze e collinearità

[edriv]

Sia $ \Gamma $ una circonferenza di centro O, V un punto esterno a $ \Gamma $ e M l'inverso di V (ovvero il punto medio dei punti A,B in cui le tangenti da V toccano $ \Gamma $).

Prendiamo un punto P su $ \Gamma $ e sia P' l'altra intersezione tra la retta VP e $ \Gamma $. Q è il simmetrico di P' rispetto a VO.

Dimostrare che Q,M,P sono allineati.

(la sorgente di questo problema è un altro problema, completamente modificato. Poi vi svelo da quale son partito)

[EvaristeG]

Pura sboroneria : soluzione proiettiva!! (esercizio utile per chi allo stage ha seguito quella lezione sarebbe di provare ad affrontare il problema con quegli strumenti)

Consideriamo il simmetrico di PP' rispetto a VO; incontrerà la circonferenza in Q,Q' e si avrà che PQ' e QP' si incontrano su VO per simmetria, inoltre PP' e QQ' si incontrano in V, infine PQ e P'Q' sono paralleli e perpendicolari a OV. Quindi il polo della retta per V perpendicolare a OV è l'int. tra PQ' e P'Q, che dunque è M.

[Sisifo]

Allora..
Il quadrilatero MOPP' é ciclico, perché immagine per inversione della retta VPP', che non passa per O.
Quindi
$ \angle OMP = \pi - \angle OP'P $.
Ma OP'P é isoscele, per cui
$ \angle OP'P = \angle OPP' = \angle OMP' = \angle OMQ $
Perché Q é simmetrico di P' rispetto a OM. Ma allora
$ \angle OMP + \angle OMQ = \pi $
CVD

[edriv]

Ok, perfetto, era un'altro esempio di applicazione del lemmino comparso su IMO 1983/2.

Con questo problema si risolve questo problema:
http://olimpiadi.sns.it/oliForum/viewtopic.php?t=5133