Qualcuno può dare una definizione precisa di Trasformata di Fourier.. ?A lezione ci è stata presentata in questo modo.
$ \displaystyle T(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(x,t) e^{ikx}dx $
Magari conservando questo formalismo o precisando se non è corretto. Inoltre..l'integrale in questione è di Lebesgue?
Trasformate di Fourier
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Nonno Bassotto
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La trasformata di Fourier è definita, almeno in alcuni casi, come dici tu. Intanto prendiamo u che dipenda solo dalla variabile x. Nel tuo caso u dipende da x e t, ma la trasformata è fatta a variabile t fissata. Se la funzione u è integrabile (cioè l'integrale
$ \int_{-\infty}^{+\infty} |u(x)| dx $
nel senso di Lebesgue esiste finito) allora si definisce una nuova funzione $ \hat{u} (\xi) $ ponendo
$ \hat{u} (\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} |u(x)| e^{i x \xi} dx $
Se la tua funzione è Riemann integrabile, tutti gli integrali di Lebesgue possono essere sostituiti da integrali di Riemann. C'è poi un modo di estendere la definizione a classi di funzioni più generali delle funzioni integrabili.
Se sai cos'è lo spazio $ L^2 (\mathbb{R}) $, puoi fare questo. Osservi che se u, oltre che essere integrabile è anche in L^2, allora u e $ \hat{u} $ hanno la stessa norma $ L^2 $. Siccome $ L^1 \cap L^2 $ è denso in $ L^2 (\mathbb{R}) $, cioè ogni funzione $ L^2 $ è approssimabile in norma $ L^2 $ con funzioni $ L^1 $, esiste un unico modo di estendere la trasformata di Fourier con la proprietà che sia un'isometria da $ L^2 (\mathbb{R}) $ in sé. Si può fare qualcosa di ancora più generale, con le distribuzioni temperate, ma non mi sembra il caso di tirare inballo anche queste. Ti basti sapere che la classe delle funzioni su cui ha senso definire la trasformata di Fourier è assai più grande delle funzioni integrabili.
Se non hai capito niente dell'ultimo paragrafo, non ti preoccupare. La definizione che hai dato funziona perfettamente per tutte le funzioni integrabili.
$ \int_{-\infty}^{+\infty} |u(x)| dx $
nel senso di Lebesgue esiste finito) allora si definisce una nuova funzione $ \hat{u} (\xi) $ ponendo
$ \hat{u} (\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} |u(x)| e^{i x \xi} dx $
Se la tua funzione è Riemann integrabile, tutti gli integrali di Lebesgue possono essere sostituiti da integrali di Riemann. C'è poi un modo di estendere la definizione a classi di funzioni più generali delle funzioni integrabili.
Se sai cos'è lo spazio $ L^2 (\mathbb{R}) $, puoi fare questo. Osservi che se u, oltre che essere integrabile è anche in L^2, allora u e $ \hat{u} $ hanno la stessa norma $ L^2 $. Siccome $ L^1 \cap L^2 $ è denso in $ L^2 (\mathbb{R}) $, cioè ogni funzione $ L^2 $ è approssimabile in norma $ L^2 $ con funzioni $ L^1 $, esiste un unico modo di estendere la trasformata di Fourier con la proprietà che sia un'isometria da $ L^2 (\mathbb{R}) $ in sé. Si può fare qualcosa di ancora più generale, con le distribuzioni temperate, ma non mi sembra il caso di tirare inballo anche queste. Ti basti sapere che la classe delle funzioni su cui ha senso definire la trasformata di Fourier è assai più grande delle funzioni integrabili.
Se non hai capito niente dell'ultimo paragrafo, non ti preoccupare. La definizione che hai dato funziona perfettamente per tutte le funzioni integrabili.
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Ingegneria????Mind..Direi proprio di no.. faccio Fisica e sono al primo anno (veramente adesso al secondo). La trasformata in questione è venuta fuori a lezione nel corso interno di Fisica Statistica per risolvere un problema di Random walk..per essere precisi si tratta dell'equazione di diffusione nella forma
$ \displaystyle \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P(x,t)}{\partial x^2} $.
Grazie Nonno Bassotto...
E per dimostrare le seguenti proprietà?
$ \displaystyle T(\frac{\partial u}{\partial x}) = ikT(u) $
$ \displaystyle T(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}) = -k^2T(u) $
$ \diplaystyle T(\frac{\partial u}{\partial t}) = \frac{\partial T(u)}{\partial t} $
Credo che si facciano per parti..
$ \displaystyle \frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P(x,t)}{\partial x^2} $.
Grazie Nonno Bassotto...
E per dimostrare le seguenti proprietà?
$ \displaystyle T(\frac{\partial u}{\partial x}) = ikT(u) $
$ \displaystyle T(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}) = -k^2T(u) $
$ \diplaystyle T(\frac{\partial u}{\partial t}) = \frac{\partial T(u)}{\partial t} $
Credo che si facciano per parti..
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La prima si fa per parti. La seconda segue applicando la prima due volte. La terza derivando rispetto a t sotto segno di integrale. Il tutto quando la funzione è abbastanza regolare da permettere di fare questi passaggi.
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