MdF ha scritto:Certo, occorre calcolare il determinante della matrice Hessiana. Però esso va calcolato nei punti che soddisfano il sistema formato dalle due derivate prime parziali, entrambe poste a zero. Questi sono, infatti, i punti di massimo/minimo/sella, a seconda dei casi.
Nel tuo caso hai:
$ $ 3x^2-3y=0 $ $
$ $ 3y^2-3x=0 $ $
Esse sono a sistema.
Troverai delle coppie $ $ (x,y) $ $ le quali sono due coordinate delle terne di valori che indicano i punti di massimo/minimo/sella.
Provo a risolvere:
$ $ y=x^2 $ $
$ $ 3x(x^3-1)=0 $ $
$ $ 3x(x-3)(x^2+x+1)=0 $ $
quindi avrai un $ $ x_1=0 $ $, un $ $ x_2=3 $ $ e un altro paio di valori di x che non so calcolarti. Poi ti cerchi le $ $ y $ $, e non è escluso siano 4 o più valori. Poi procedi a combinare tutte le x e le y tra loro, avrai quindi oltre 10 punti, forse 16, di preciso non so.
In ciascuno di questi punti, con le due coordinate che hai, ti calcoli il valore della matrice Hessiana (che tu hai ancora sotto forma di incognite). Se fosse maggiore di zero, calcoli pure la derivata seconda rispetto a x con le coordinate del punto in analisi, per capire se il punto è di massimo o minimo. Quindi procedi a calcolare la coordinata $ $ z $ $ del punto, per ottenere la terna $ $ P\equiv (x,y,z) $ $.
Il determinante generico nel tuo caso è:
$ $ H=(6x \cdot 6y) - (-3)^2 = 36xy - 9 $ $
(avevi sbagliato a riportare $ $ f''_{yy} $ $)
Per esempio, nei punti di ascissa $ $ x=0 $ $, $ $ H=-9 $ $ sempre, quindi tutti i punti con ascissa $ $ x=0 $ $ (e sono diversi) sono di sella. Non vado oltre perché sarebbe lunghissimo.
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