dominio funzione radice dispari

[paperino]

ciao a tutti!
scusate il dubbio stupido ma il dominio della f(x) = (x+3)^(1/5) è tutto l'insieme reale oppure solo x>=-3???

[Sosuke]

tutto $ R $

[Ponnamperuma]

Dal momento che l'esponente di $ x+3 $ equivale a una radice quinta della base, dunque una radice di indice dispari, qualunque risulti essere il segno del radicando la funzione è definita in $ \mathbb{R} $...

Ciao!

[paperino]

grazie, anche se io ricordo vagamente (forse mi sbaglio ) che il prof ci aveva detto che x^(m/n) è equivalente a x^(2m/2n), per cui dovrei considerare per convenzione come dominio solo x>=0! è una cavolata???

[Ponnamperuma]

Mah, io sono solo in quinta superiore, ma non ho mai sentito dire nulla di simile... del resto, si suppone che m/n sia ridotto ai minimi termini... non è che altrimenti sia sbagliato, è semplicemente inutile, come fare la radice quadrata di un quadrato... un passo avanti e uno indietro!...
Poi, però, la conclusione sul dominio... sì, mi sembra una cavolata!

[Sosuke]

grazie, anche se io ricordo vagamente (forse mi sbaglio ) che il prof ci aveva detto che x^(m/n) è equivalente a x^(2m/2n), per cui dovrei considerare per convenzione come dominio solo x>=0! è una cavolata???

esattamente (a parte dove consideri il dominio).... nulla di strano... $ \displaystyle\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n} $... moltiplichi e dividi per 2... quindi il tuo esponente non diventa pari.. e dunque il dominio è in tutto $ R $

[Nonno Bassotto]

Il dominio fa parte della definizione di funzione. Comunque la radice quinta puo' essere definita su tutto R, a valori in R.

[edriv]

La potenza ad esponente razionale di solito viene definita solo sui reali positivi proprio perchè non è possibile estenderla altrove facendo ancora funzionare le proprietà delle potenze.
Poi per questo nessuno ti vieta di estrarre una radice quinta.

[paperino]

... grazie edriv!!!
ora ho capito anche quello che ci aveva detto il prof: x^1/3, così come tutte le potenze ad esponente razionale, è definito solo in R+!
la mia calcolatrice grafica, ad es., non ha la funzione radice cubica, quindi devo scrivere x^1/3 e il grafico mi viene disegnato per x>=0.

ciao a tutti

[SkZ]

grazie, anche se io ricordo vagamente (forse mi sbaglio ) che il prof ci aveva detto che x^(m/n) è equivalente a x^(2m/2n), per cui dovrei considerare per convenzione come dominio solo x>=0! è una cavolata???

Oggi al corso di analisi 1 per astronomi e fisici il prof ha portato un esempio simile per mostrare che e' meglio definire l'elevamento a potenza con esponente non intero derfinite solo su $ \mathbb{R}_+^* $
$ \displaystyle -2= (-8)^{\frac{1}{3}}=(-8)^{\frac{2}{6}}=\left((-8)^2\right)^{\frac{1}{6}}=(64)^{\frac{1}{6}}=2 $
allora c'e' almeno un passaggio che non e' matematicamente corretto o un errore. L'unico che puo' esserlo (il non esserlo ) e' il primo, ovvero che la base possa essere negativa.
ovvero la soluzione di $ ~ x^3=-a\; a>0 $ e' $ ~ x=-\sqrt[3]{a} $

edit: tutto il discorso si intende fatto su $ ~ \mathbb{R} $, su $ ~ \mathbb{C} $ il discorso cambia