IMO 1985/1... quadrilatero circoscrivibile e seminscrivibile

[edriv]

Il centro di una circonferenza giace sul lato AB di un quadrilatero ciclico ABCD. Gli altri lati, BC, CD, DA, sono tangenti a questa circonferenza. Dimostrare che AB = AD + BC.

Io ci ho perso una giornata, per poi vedere una bella soluzione di due righe, e quindi, per vendetta, lo posto qui

[piever]

In invisibile:

faccio il simmetrico del quadrilatero rispetto ad AB e ottengo un esagono circoscritto alla circonferenza. Chiamiamo r il raggio della circonferenza. Possiamo calcolare l'area dell'esagono come somma delle aree di 6 triangolini uguali a coppie o come la somma di 2 trapezi congruenti. Nel primo caso l'area è (BC+CD+DA)r
Nel secondo caso l'area è (AB+CD)r
Quindi (AB+CD)r=(BC+CD+DA)r da cui si ricava che AB+CD=BC+CD+DA che semplificato diventa la tesi

EDIT: mi sono accorto ora di aver completamente tralasciato un'ipotesi...

[edriv]

Ehm, non è detto che quelli siano proprio dei trapezi (chi ha detto che AB e CD sono paralleli?)

[mattilgale]

metto una toppa di seta (wow!) al lavoro di piever...

dimostriamo che se ABCD è ciclico allora $ |ABCD|=\frac{1}{2}\cdot (AB+CD)r $

prolungo AD e BC in modo che si incontrino in E (siccome E può essere dalla stessa parte di AB rispetto a CD o dall'altra io suppongo che sia dalla stessa e i problemi di configurazione ve li risolvete da soli, solo che l'incentro diventa un excentro)

a questo punto la circonferenza tangente ai 3 lati è l'incirconferenza di CDE... come si vede bene con considerqazioni sugli angoli CDE e ABE sono simili... adesso se tracciamo la parallela a CD per l'incentro avremo che anche il nuovo triangolo dato da E ed i due punti intercettai su ED e EC dalla parallela è simile a CDE e poiché la sua bisettrice dell'angolo in E è la stesa di ABE deve essere congruente ad esso...

quindi il segmento di parallela intercettato da ED e EC è lungo AB e l'area di ABCD è uguale all'area del trapezio che si è venuto a formare, e che ha area esattamente (AB+CD)r/2

CVD

[edriv]

Ok, bella.
L'idea era che, guardando gli angoli ECD ed EDC, ci si accorgeva che se fossero scambiati, si avrebbe proprio una parallela, quindi bastava fare il simmetrico rispetto alla bisettrice e si trovava qualcosa di utile.