x²+y²+z²=3xyz

[Pigkappa]

Trovare infinite soluzioni intere e positive di:

$ x²+y²+z²=3xyz $



[Edit: ho visto che era stata linkata e poi cancellata la soluzione... Se qualcuno vuole vederne una chiedetemela a vi dico quella dell'Engel (da cui ho preso l'esercizio)... Come dice EvaristeG, chiaramente non l'avevo postato per avere la soluzione ma per vedere come lo facevate...]

[dalferro11]

ho cancellato la soluzione

[EvaristeG]

Ti prego di cancellare il link : questo è un forum dedicato alle olimpiadi della matematica e ai partecipanti ad esse, quindi i problemi che vengono proposti sono di solito intesi come esercizio matematico, non googleistico. In generale, a meno che non sia il link ad un'altra pagina di questo forum su cui viene discusso lo stesso problema, è buona norma evitare di dare link a siti con le soluzioni (e non tiriamo fuori la solita storia che se uno non vuole non guarda, per piacere...).

[darkcrystal]

Supponiamo di avere una soluzione (x,y,z)
Aggiungiamo a entrambi i membri dell'equazione $ 9x^2y^2-6xyz $ ottenendo $ x^2+y^2+z^2+9x^2y^2-6xyz = 9x^2y^2-3xyz $
$ x^2+y^2+(3xy-z)^2 = 3xy(3xy-z) $ e perciò (x,y,3xy-z) è soluzione.
Data la soluzione banale (1,1,1) si tratta ora di vedere che ne generi infinite altre diverse.
Poichè le terne di soluzioni non dipendono dall'ordine, procediamo come segue: poniamo come z il valore minimo; per verificare che sono tutte distinte consideriamo la somma (x+y+z) per ogni soluzione. Voglio provare che costruendo le soluzioni in questo modo tale somma è strettamente crescente (e perciò due soluzioni non possono essere uguali).
Ma questo è abbastanza evidente: $ x+y+z < x+y+3xy-z \Rightarrow 2z<3xy $ che è vera perchè per ipotesi z<x e z<y.
Perciò in questo modo riusciamo a costruire infinite soluzioni intere positive distinte.

Ciao!

[darkcrystal]

[mode=sproloquio]
Anche se non interesserà a nessuno posto un mio sproloquio sulla natura delle soluzioni.
Supponiamo che esista un primo p congruo a 3 modulo 4 che divida x e consideriamo l'equazione modulo questo primo.
Si ha $ y^2+z^2 \equiv 0 \pmod p $. Ma è noto che se un primo congruo a tre modulo 4 divide una somma di quadrati allora divide anche ogni quadrato preso singolarmente.
Ma allora il membro sinistro è divisibile per p elevato al doppio dell'esponente minimo con cui compare in (x,y,z), mentre il membro destro è divisibile per p elevato alla somma degli esponenti con cui compare in (x,y,z). Ma allora tutti gli esponenti sono zero (siano infatti a,b,c gli esponenti con cui p compare in x,y,z. Wlog sia inoltre $ a \leq b \leq c $. Si ha allora 2min(a,b,c)=a+b+c --> 2a=a+b+c --> a=b+c ma a è il minimo, assurdo a meno che uno degli esponenti sia zero. Ma se uno degli esponenti è zero, allora lo sono anche gli altri)
Perciò nessun valore che compaia in qualche soluzione sarà congruo a zero modulo un p congruo a 3 modulo 4.
[/mode]