Limite fastidioso

jimmy · Messaggio da **jimmy** » 01 gen 1970, 01:33

Sono quasi sicuro che sia una stupidaggine ma non ne vengo proprio fuori....
 
 devo calcolare il limite per x->0 di (1/sinx)-
 (1/x)
 
 Mi sembra evidente il risultato 0 ma non mi riesce proprio di dimostrarlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 Ciao

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

La dimostrazione del fatto che
 
 lim(x->0) (sin x)/(x) = 1
 
 la trovi in tutti i libri di analisi e sfrutta le
 minoranti/maggioranti. Tu devi trovare
 
 
 lim(x->0) (sin x - x) / (x sin x) =
 lim(x->0) ((sin x / x) - 1) / (sin x) =
 lim(x->0) 0 / sin x = 0 cvd

jimmy · Messaggio da **jimmy** » 01 gen 1970, 01:33

Così però non va bene.
 Non puoi affermare infatti che
 lim(x->0) 0 / sin x = 0
 perchè il limite di sin x e\' 0 dunque essa è una forma indeterminata del tipo 0/0.
 Il problema si ripropone....

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

Io invece credo vada bene... prendi la funzione
 
 y = x / x
 
 essa nient\'altro è che una retta parallela
 all\'asse x, e il punto di ascissa zero costituisce
 una discontinuità eliminabile, in quanto il
 limite destro e il sinistro della funzione in
 quel punto coincidono e valgono 1. Per cui
 credo si possa affermare tranquillamente che
 
 lim(x->0) x/x = 1
 
 e, analogamente
 
 lim(x->0) 0 / sin(x) = 0

jimmy · Messaggio da **jimmy** » 01 gen 1970, 01:33

No assolutamente... 0/0 e\' una forma indeterminata punto e stop.
 prendi ad esempio
 lim(x->0) x/x^2
 secondo il tuo ragionamento sarebbe 0/x^2 e dunque 0?
 Proprio non ci siamo....

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Se avete gia\' trattato (o comunque conosci) il treorema di Rolle (mi pare che sia questo il nome. In ogni caso intendo quello che dice che per una funzione \"liscia\" esiste una tangente in uno dei suoi punti che e\' parallela alla corda che unisce gli estremi) per cui
 
 f(b)-f(a)=(b-a)f\'(e) con a\"<\"e\"<\"b si puo\' utilizzarlo per trovare il tuo limite.
 
 Da questo teorema si ha che:
 
 sen(x)=xcos(e) con 0 \"<\" e \"<\" x o e=tx con 0 \"<\" t \"<\" 1
 
 (tra l\'altro da qui si ricava velocemente che sen(x)/x=cos(e)-->1 per x-->0).
 
 Quindi 1/x-1/sen(x)=1/x-1/(xcos(e))=
 t/cos(e) (cos(e)-1)/e.
 
 Per x-->0 (essendo t limitato) e-->0.
 Percio\' t/cos(e)-->t
 
 mentre
 
 (cos(e)-1)/e -->0.
 
 Inftatti appliccando ancora Rolle:
 
 (cos(e)-1)/e=-sen(d) con 0 \"<\" d \"<\" e.
 
 
 
 Un altra via potrebbe essere quella di limitare la tua f(x) tra due funzioni che tendono a zero.
 
 Ad esempio |f(x)|>=|sen(x)/x-1| da un lato e dall\'altro ora non mi viene ma credo che qualcosa si possa trovare.
 
 
 Ciao
 
 Sprmnt21
 PS
 allora per y abbastanza piccole e positive
 
 2y \">\" sen(2y)
 
 da cui segue che 1/sen(x) >= cos(x)/x e quindi
 
 
 1/x-1/sen(x) =< (1-cos(x))/x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ This message was edited by: sprmnt21 on 2001-11-23 10:45 ]

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

Jimmy jimmy...
 
 non mi pare che la funzione
 
 y = x / x^2
 
 presenti in 0 una DISCONTINUITà ELIMINABILE
 
 infatti
 
 lim(x->0-) x / x^2 = - inf
 lim(x->0+) x / x^2 = + inf
 
 mentre io avevo sostenuto un certo discorso
 nel caso in cui LIMITE DESTRO E SINISTRO
 coincidessero, come del resto avviene in
 
 y = 0 / sin(x)
 
 infatti
 
 lim(x->0-) y = lim(x->0+) y = 0

The_Master · Messaggio da **The_Master** » 01 gen 1970, 01:33

Scriviamo il limite come (x-sin(x))/(x*sin(x)), e applichiamo 2 volte il teorema di De L\'Hospital, ottenendo 0. [ This message was edited by: The_Master on 2001-11-25 00:13 ]

kindom · Messaggio da **kindom** » 01 gen 1970, 01:33

il tutto si può risolvere a occhio...per un criterio semplicissimo che va sotto il nome di ordine di infinetisimo, la funzione sin x è \"veloce\" come la funzione x ( si ricorda lo sviluppo in serie di Taylor) e pertanto la funzione differenza tende a zero!!![addsig]

BlaisorBlade · Messaggio da **BlaisorBlade** » 01 gen 1970, 01:33

Allora, jimmy, si può scrivere benissimo che lim 0/x o 0/sinx per x->0 è 0. La discontinuità si può eliminare come ti hanno spiegato; se non fosse così, non esisterebbero le derivate(che con passaggio al limite danno tutte 0/0, il passaggio al limite, ovvero per calcolare lim a/b fare lim a/lim b, è valido solo se lim b =/=0!); terzo, il limite c\'è perché dato qualunque eta, tutti gli elementi della successione sono in (-e,+e) xché sono 0. Tutti tranne 0/0... ma per x->0 significa che x ci diventa 0 o no? dato che funziona evidentemente x non diventa per forza 0, ma com\'è la definizione esatta?

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

ah sprmnt il teorema è di Lagrange

Lucio · Messaggio da **Lucio** » 01 gen 1970, 01:33

Tu inizia a imbottirti per bene e a scappare. Ti conviene cominciare da subito.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

\"Azarus, alzati e cammina!\"
 Anzi, alzati e mettiti a correre, prima che ti becchi.
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Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

comunque quella cosa greca che sembra un seno ruotato di pi/2 è una epsilon...