$ \displaystyle \frac{1}{a^2(b+c)}+\frac{1}{b^2(c+a)}+\frac{1}{c^2(a+b)}\geq \frac{3}{2} $
Questa è per perdonarmi l'altra che è un po' più difficile
una implicazione non molto velata se abc=1
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pi_greco_quadro
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una implicazione non molto velata se abc=1
Siano $ a,b,c $ i soliti reali positivi. Si dimostri che, posto $ abc=1 $ vale
$ \displaystyle \frac{1}{a^2(b+c)}+\frac{1}{b^2(c+a)}+\frac{1}{c^2(a+b)}\geq \frac{3}{2} $
Questa è per perdonarmi l'altra che è un po' più difficile
$ \displaystyle \frac{1}{a^2(b+c)}+\frac{1}{b^2(c+a)}+\frac{1}{c^2(a+b)}\geq \frac{3}{2} $
Questa è per perdonarmi l'altra che è un po' più difficile
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"Ti credevo uno stortone.. e pure vecchio.. (Lei)"
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Poniamo $ a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z} $ con $ xyz = 1 $.
Allora la diseguaglianza diventa $ \frac{x^2yz}{y + z} + \frac{y^2xz}{x + z} + \frac{z^2xy}{x + y} \geq \frac{3}{2} $.
Dividendo i numeratori per $ xyz = 1 $ si ottiene $ \frac{x}{y + z} + \frac{y}{x + z} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2} $ che è la diseguaglianza di Nesbitt.
Allora la diseguaglianza diventa $ \frac{x^2yz}{y + z} + \frac{y^2xz}{x + z} + \frac{z^2xy}{x + y} \geq \frac{3}{2} $.
Dividendo i numeratori per $ xyz = 1 $ si ottiene $ \frac{x}{y + z} + \frac{y}{x + z} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2} $ che è la diseguaglianza di Nesbitt.