Lemma di Haruki

[pi_greco_quadro]

Siano $ AB $ e $ CD $ due corde di una circonferenza. Sia $ P $ un punto su tale circonferenza distinto da $ A, B, C, D $; chiamiamo $ Q $ l'intersezione di $ PC $ con $ AB $ e $ R $ l'intersezione di $ PD $ con $ AB $. Allora, al variare di $ P $ sulla circonferenza, il valore $ AQ\cdot BR/QR $ è costante.

[jim]

Bel problema. Dopo ore a tentare con l'analitica, dovrei aver trovato una soluzione euclidea. Posto in white:
Costruisco la circonferenze circoscritta a PQD. Questa avrà due intersezioni con la retta passante per AB: una è Q, l'altra la chiamo S. Ho subito che gli angoli QPD e QSD sono uguali (insistono entrambi su QD). Inoltre l'angolo CPD non muta, al variare di P, poichè CD è fissato, dunque sarà fisso anche l'angolo QSD. Ora consideriamo il triangolo ASD: esso ha i suoi tre angoli fissati e un lato (AD) fissato per ipotesi. Dunque è determinato, e resterà immutato al variare di P. In particolare, il segmento BS resterà immutato, poichè differenza di segmenti fissi (AS-AB). Ora applichiamo il teorema delle corde due volte: abbiamo che:
PR*RD=QR*RS e PR*RD=AR*RB ==> QR*RS=AR*RB ==>
==> QR*(RB+BS)=(AQ+QR)RB ==> QR*RB+QR*BS=AQ*RB+QR*RB ==>
==> QR*BS=AQ*RB ==> (AQ*RB)/QR=BS , e poichè BS, come si è visto prima, è fisso, il problema è dimostrato.