PROBLEMA IMPORTANTEEE!!!!!!!!!!!

[Katerina89]

ciao raga...
oggi il profe entra e mi lascia kuesto problema : trovare tutte le
soluzioni di un ekuazione...... xò solo numeri interi, eh!!!!
x kuadro -82 y kuadro =2

mi ha detto di ragionare modula pi....... ma ke vuol direeee???


grazie aiutatemi vi pregooo!!!!!!!!!!!!!!! nn skrivete kose troppo
difficili, eh!!!!

[/color]

[Marco]

Ciao Katerina.

Per prima cosa, ti consiglio di farti un giro nella sezione del "Comitato di Accoglienza". Lì trovi una serie di regolette di buon comportomento e, ahime, il tuo messaggio ne infrange alcune; visto che sei nuova, per stavolta chiuderemo un occhio. In particolare, per i prossimi messaggi,

- tieni conto che non stati scrivendo un SMS: metti le vocali dove vanno e le "c" al loro posto.
- dai un titolo sensato al tuo problema "Problema Importante" non significa nulla.
- c'è una sezione apposta [il Glossario] che spiega che cosa vuol dire "modulo p".
- se possibile, cerca di imparare a scrivere le formule in LaTeX. Non è difficile e aiuta molto te e noi a capire di che cosa stiamo parlando. Ad esempio, la tua equazione si scrive così:
$ x^2 - 82 y^2 = 2 $, ossia

Codice: Seleziona tutto

[tex]x^2 - 82 y^2 = 2[/tex]

.

------------------

Dopo il piccolo rimprovero, di nuovo benvenuta. Cerco di rispondere al tuo messaggio. L'equazione data è un'equazione sugli interi, o equazione diofantea.

Modulo p è una tecnica che va sotto il nome di "aritmetica modulare" o "congruenze". Se il tuo prof. ti ha assegnato un esercizio che ne richiede la conoscenza e non te l'ha spiegata, è disonesto. Se invece te l'ha spiegata, almeno la frase "modulo p" dovresti capire che vuol dire.

Inoltre, ad occhio, non mi pare l'esercizio tanto semplice per i novizi, quindi o il tuo prof. ha preso un granchio solenne, o hai trascritto male il testo. Sei sicura che il testo sia corretto?

Un saluto e torna a trovarci. M.

[Katerina89]

hooo... skusa se ti dà fastidio kome skrivo!!!! non sei mika obbligato a leggere kuello ke skrivo o a rispondermi eh!!!!
cmq..... il problema è propio kosì, il profe me l'ha dato per esercizio xchè dice ke sono brava e vuole mettermi alla prova kon problemi difficili..... non voglio deluderloooo, aiutatemiiiii!!!!!
cmq.... ho kalkolato le soluzioni modulo p per un pò i p........... fino a 20 eh!!!
se propio marko non sai kome si risolve... magari kualkun altro mi puo aiutare..... non cè nessuno ke sa kome si fà????????

2)2,1 2,2
3)3,2 3,1
4)4,1 2,3 4,3 2,1
5) 5,3 3,1 2,4 5,2 2,1 3,4
6)6,2 6,5 6,1 6,4
7) 6,2 1,5 7,6 7,1 4,7 3,7 6,5 1,2
2,3 2,1 2,5 6,1 6,5 6,3 6,7 2,7
9) 6,5 9,4 9,5 3,4 6,4 3,5
10) 10,8 8,9 8,1 10,3 8,4 2,4 2,9 8,6 10,2 2,6 10,7 2,1
11) 4,7 6,8 5,8 6,3 7,4 5,3 11,9 4,4 11,2 7,7
12) 12,7 6,11 6,1 12,1 12,11 6,5 12,5 6,7

13)9,7 12,9 5,10 5,3 1,4 4,6 1,9 8,3 12,4 9,6 4,7 8,10
14) 6,12 8,2 14,1 14,13 10,14 4,7 10,7 6,5 14,6 6,2 8,12 6,9 4,14 8,5 14,8 8,9
15) 12,11 15,2 3,1 15,7 15,8 3,4 3,11 12,14 12,1 15,13 3,14 12,4
16) 10,13 10,11 6,1 6,13 10,5 10,15 10,1 2,9 14,11 2,15 2,5 2,13 2,11 10,7 14,3 14,9 6,9 6,3 14,5 10,3 14,7 14,15 6,7 6,11 2,7 6,15 2,1 2,3 14,1 10,9 14,13 6,5
17)8,11 4,16 4,1 11,17 12,10 6,17 14,14 12,7 9,11 13,1 14,3 8,6 5,7 9,6 3,3 3,14 5,10 13,16
18) 12,5 18,14 18,5 18,13 6,5 6,14 12,4 12,13 6,4 6,13 18,4 12,14
19) 8,17 11,17 19,14 3,6 3,13 16,13 5,11 16,6 7,12 14,8 19,5 8,2 11,2 14,11 7,7 12,12 5,8 12,7
20)20,7 18,1 2,11 10,13 10,3 18,9 8,11 12,11 2,9 18,11 20,3 12,19 20,17 12,9 2,19 12,1 10,17 10,7 8,9 8,1 2,1 18,19 20,13 8,19

[EvaristeG]

Marco è decisamente troppo educato a volte : il problema non che a lui dia fastidio come tu scrivi; il fatto è che gli amministratori e i moderatori di questo forum hanno deciso (ovverosia, noi abbiamo deciso) di fissare alcune regole, tra le quali una è quella che impone di evitare l'abuso delle abbreviazioni da sms e soprattutto dell'inutile utlizzo della k in luogo di c,q, in quanto rendono i messaggi estremamente scomodi da leggere. Qui non hai limiti di caratteri, nè particolari difficoltà ad usarne uno piuttosto che l'altro.
Concludendo : queste (ed altre ancora, scritte dove Marco ti ha segnalato) sono le regole, se vuoi accettarle, saremo lieti di averti fra noi, altrimenti, è stato bello per quel che è durato ed arrivederci.

[Marco]

Ok. Va bene. Evviva la maleducazione! Complimenti!

Per quanto riguarda il tuo bel problemino, cara K89, effettivamente non so come si risolve (non ancora, almeno). Di sicuro non ha soluzioni più piccole di qualche migliaio. Dubito che ne abbia, e sono certo che non si risolve con solo le congruenze.

Se le mie congetture sono esatte, suppongo che per avere qualche risultato in più bisogna usare necessariamente tecniche più raffinate, come un'estensione quadratica dei razionali. Sfortunatamente i numeri in ballo sono troppo grossi per avere ancora la fattorizazione unica e ci sono dei problemi di natura tecnica.

Per questo motivo ti ho suggerito ti ricontrollare il testo dell'esercizio. Ma se invece ritieni di non aver sbagliato a trascrivere il testo o che il tuo prof. non si sia confuso nel dartelo, beh, sei liberissima di provarci.

M.

[dalferro11]

ciao Caterina,
L'equazione da te posta è detta equazione di Pell e si risolve tramite le frazioni continue. Ma per quanto mi sembra, non hai molta esperienza in aritmetica modulare quindi difficilmente saprai cosa sono le frazioni continue.
Comunque sia l'equazione posta dal tuo professore non ha soluzioni intere per motivi che non ti spiego. Quindi tu potresti stare li a provare tutti i numeri che vuoi, ma non ne troveresti nessuna di soluzione.
Invece equazione
$ x^2 - 82y^2 = 1 $
ha infinite soluzioni dove le più piccole positive sono x=163 e y=18
Buono studio!!!!

[MindFlyer]

Una piccola nota: di solito, quando si dice "modulo p", ed in generale quando in aritmetica ci si riferisce ad una variabile p, s'intende un numero primo.

Poi, tra parentesi, sono convinto anch'io che sia disonesto da parte di un professore dare un'equazione di Pell senza aver spiegato nulla di teoria.

[Katerina89]

uè ragaaaa!!
scusate se vi ho dato fastidio con le cappa.........
prometto che non lo faro piiù.... e o imparato anche questa cosa texxx!!! è divertenteeeee!!!
cmq.... voi dite tutti che il problema è troppo diffficile......... ma oggi mi è venuto in mente come si puo fare!!!!! cioè...... non so sè giusto, eh!!!!!!!!!!!!!!
mi è venuto in mente che se cè una soluzione, allora abbiamo due numeri a e b, no???? allora possiamo costruire un altro numero così:
$ a+b\sqrt{82} $
e il profe ci ha insegnato a razionalizzare (si dice cosi no?????? ) facendo
$ (a+b\sqrt{82}) a - b\sqrt{82} = a^2 - b^2 82 $
quindi se è una soluzione allora quella cosa fa 2!!!!!!!!!!!!
cmq........ dalferro dice che se metto 1 al posto di 2 allora ci sono soluzioni, veroooo? e se faccio la stessa cosa con quelle allora fa 1!!!!! ma allora posso anche moltiplicarle fra di loro perché 1 per 1 fa 1.... questo lo so anch'io!!!!!!!! e poi se prendo una soluzione del mio problema e una di quello con 1 al posto di 2, e le moltiplico (in quella forma strana, eh!!!!!!) allora ho un altra soluzione, vero??????
allora ho pensato che se prendo la soluzione con a e b e la moltipliko tante volte per la soluzione di dalferro
$ 163 + \sqrt{82}18 $
ho tantissime soluzioni che il mio profe ci ha insegnato sono una progressione geometrica, verooooo????? ho detto giusto?????? quindi tra un passo e l'altro il valore assoluto si moltiplica per
$ |163 + \sqrt{82}18| = 325.9969324864735 $
cmq..... se prendo questo numero.... tipo.....
$ c= \sqrt{2 \cdot 325.9969324864735} = 25.534170536223552 $
sicuramente posso moltiplicare o dividere per la soluzione di dalferro tante volte finchè non cado fra 2/c e c!!!!!!!!!!! questo si vede subito, eh!!!!!!!
ma allora sia
$ a+b\sqrt{82} $
che
$ a-b\sqrt{82} $
hanno valore assoluto controllato da c!!!!! ma allora b può essere solo 0 1 o 2!!!!!
pero mi pare che con questi numeri non funzionaaa!!! quindi forse o sbagliato qualcosa
allora che ne pensateeeee?? è giustooooooo???

[dalferro11]

Caterina ciao....
Non sono stato chiaro , l'equazione del tuo prof non ha soluzioni intere, su questo non ci piove.
Se non ho capito male quello che intendevi tu, era di fare questa operazione date soluzioni più piccole x e y:

$ (x^2-82y^2)^k = 1^k $

Ma questa da sempre soluzione 1.

Se tu moltiplichi entrambi i membri per 2 ottieni:

$ 2x^2-2*82y^2 = 2 $
$ 2x^2-164y^2 = 2 $

Che è esatta ma $ 2x^2 $ non è un quadrato perfetto mentre tu cerchi soluzioni che siano quadrati perfetti.
Sull'equazione di Pell c'è molta letteratura, quindi se vuoi saperne di più puoi sempre leggere qualche libro base base di teoria dei numeri. non dovrebbe essere difficile per te, mi pare tu sia una persona intuitiva.
Le cose sono due:
1) o il tuo prof voleva farti lavorare un pochino nel senso che l'equazione, non avendo soluzioni, potevi stare li giorni e giorni senza trovare nulla.
2)il tuo prof ha sbagliato porti la domanda e quindi devi chiedere.

Per il metodo di risoluzione cerca il significato di frazione continua, ma in generale questo metodo calcola le soluzioni di $ x^2 -ny^2 =1 $ poichè
$ x^2 - ny^2 = m $ con m > 1 non è detto che ci siano soluzioni.
Fai la brava
e buona ricerca ....

[EvaristeG]

Facciamo un po' di ordine : Caterina, perdonami se riscrivo quello che hai già scritto tu, ma magari riusciamo a capirci.
Se non ho capito male, caterina, tu hai scoperto che se $ a^2-82b^2=1 $, se consideriamo il numero $ z=a+b\sqrt{82} $ e conveniamo di indicare con $ \overline{z} $ lo stesso, solo ottenuto con il segno meno (quindi $ \overline{z}=a-b\sqrt{82} $), in effetti si ha
$ z\overline{z}=a^2-82b^2=1 $
A questo punto, giustamente hai notato che $ z^n\overline{z}^n=(z\overline{z})^n=1 $ e quindi così posso produrre infinite coppie a,b che soddisfano l'equazione con "=1".
E' pure giusto dire che, se trovi una soluzione c,d tale che $ c^2-82d^2=2 $, allora avrai che, se poni $ w=c+d\sqrt{82} $ (e dunque $ w\overline{w}=2 $), il numero $ zw=(ac+82bd)+(ad+cb)\sqrt{82} $ contiene un'altra soluzione, infatti
$ (zw)(\overline{zw})=(z\overline{z})(w\overline{w})=1\cdot2=2 $.
In questo modo, se hai una soluzione della "=2" e una soluzione della "=1", riesci a generare infinite altre soluzioni della "=2".
Ottimo.
Ora, viene la parte un po' delicata di quel che hai scritto : è verissimo che nel modo appena descritto si ottiene una infinità di numeri della forma $ a+b\sqrt{82} $ che, moltiplicati per il loro corrispettivo con il meno danno $ a^2-82b^2=2 $. Per fare la divisione, devi notare una cosa (che forse hai effettivamente notato, ma ti è sembrata ovvia e non l'hai detta) : se a,b sono soluzioni di "=1" e c,d sono soluzioni di "=2", se provi a fare la divisione tra w e z, ottieni
$ \dfrac{w}{z}=\dfrac{c+d\sqrt{82}}{a+b\sqrt{82}}=\dfrac{(c+d\sqrt{82})(a-b\srqt{82})}{a^2-82b^2}=(ac-82bd)+(ad-bc)\sqrt{82} $
proprio perchè $ a^2-82b^2=1 $.
A questo punto, è ovvio che $ (w/z)(\overline{w/z})=(w\overline{w})/(z\overline{z})=2/1=2 $ e quindi hai ancora ottenuto una soluzione dell'eq "=2".
Adesso, se passi ai moduli ottieni proprio quel che dicevi tu : puoi dividere o moltiplicare w per l'opportuna potenza di z per ottenere che $ \sqrt{2}/|z|\le |w|,|\overline{w}|\le \sqrt{2}|z| $.
Ora, supponendo di aver preso tutti interi positivi, questo pone ovviamente dei vincoli sui numeri c,d tali che $ w=c+d\sqrt{82} $; tu sostieni che, sotto tali vincoli (d=0,1,2) non ci sono soluzioni all'equazione. Ma, un attimo, noi eravamo partiti dall'ipotesi che ci fosse una soluzione; abbiamo fatto dei passaggi giusti e corretti ed abbiamo ottenuto un'altra soluzione in cui d=0,1,2, ma una soluzione così vediamo bene che non esiste! Questa si chiama dimostrazione per assurdo : se per assurdo ci fosse una qualche soluzione (non so assolutamente come sia fatta), allora ci sarebbe anche un'altra soluzione, ottenuta dalla prima dividendo o moltiplicando per una soluzione della "=1", che noi sappiamo già grazie a dalferro, che però ha d=0,1,2, ma questo sappiamo benissimo che non può succedere, quindi la "cosa" da cui eravamo partiti non era una soluzione; infatti tutti gli altri passaggi sono giusti, l'unica cosa in dubbio era se una soluzione a questa equazione esistesse o no, ma abbiamo visto che se esiste lei, ne esiste anche una che in realtà non può esserci. Quindi questo dimostra che l'equazione che ti ha dato il tuo prof non ha soluzioni intere, per cui non disperarti, quello che hai scritto è esattamente la soluzione del problema, a parte che ti mancava constatare che di soluzioni non ce n'erano, per colpa dell'assurdo che raggiungi.

Se questa è veramente tutta farina del tuo sacco, i miei più vivi complimenti!

[EvaristeG]

ah, cmq questo è un problema di teoria dei numeri, non di algebra...

[Br1]

Come ha scritto Marco in un altro suo post,
io sono un lurker, un po' perché ho poco
tempo e poi perché non ho la sveltezza e l'abilità
degli "olimpici".

Tuttavia ho seguito questo post con attenzione,
anche perché gli interventi di Katerina, in un certo
senso, mi piacevano (strada facendo) e ho provato
anch'io a ragionare sulla questione.

Be', il motivo per cui scrivo è solo questo: ho letto
con molto piacere l'intervento di EvaristeG e sento
il bisogno di ringraziarlo per aver colto il valore
delle considerazioni di Katerina e per aver saputo
spiegare (mirabilmente) cosa c'era dietro.

Tutto qui.

Un saluto a tutti!