Centro di massa e momento angolare

[LordKheper]

Un'asta rigida di lunghezza 4m e di massa trascurabile ai cui estremi sono attaccate 2 masse di valore m1= 0.5kg e m2= 0,2kg, ruota intorno ad un asse verticale che passa per il suo centro, con velocità angolare = 10rad/s.
Calcolare la posizione del centro di massa rispetto al centro dell'asta e i valori del momento angolare e dell'energia cinetica rotazionale del sistema.

Il centro di massa l'ho calcolato in questo modo: $ (M*r + m*r) / M+m $ e il risultato è 0.86m

Ora per quanto riguarda il momento angolare e l'energia cinetica rotazionale ho dei problemi...
Per il momento angolare, il libro mi dice che: il momento angolare di un punto P rispetto al polo O è il vettore p = OP x q
Ora se ho interpretato bene questa formula, dovrei calcolare il prodotto vettoriale del vettore OP e del vettore quantità di moto, che si ottiene moltiplicando i due vettori tra loro e poi per il seno dell'angolo compreso... ma come ottengo l'ampiezza di quell'angolo? E poi, in base a cosa scelgo il "polo O" ? Forse si riferisce al centro di massa precedentemente calcolato?

Per quanto riguarda l'energia cinetica rotazionale, ho questa formula: $ 1/2 Ia\omega^2 $
Dove $ Ia $ è il momento d'inerzia e $ \omega^2 $ la velocità angolare al quadrato. Ma come si calcola il momento d'inerzia? Io so soltanto che dipende dalla massa e dalla forma del corpo.... insomma sono in alto mare!!

PS: Come faccio ad inserire le lettere greche? E come posso tirare una linea di frazione continua e scrivere al denominatore e numeratore?

[pic88]

PS: Come faccio ad inserire le lettere greche? E come posso tirare una linea di frazione continua e scrivere al denominatore e numeratore?

per lettere greche: \nome (es. \alpha). se scrivi il nome con l'iniziale maiuscola viene la lettera maiuscola
frazione: \frac{numeratore}{denominatore}

[pi_greco_quadro]

A dir la verità potresti anche tenere conto della relazione che lega il momento angolare con il momento d'inerzia e la velocità angolare....

An già dimenticavo la tua seconda domanda il momento d'inerzia di un corpo è definito come $ \displaystyle I=\sum_i m_i\mbox{ X } r_i^2 $

[SkZ]

Il centro di massa l'ho calcolato in questo modo: $ (M*r + m*r) / M+m $ e il risultato è 0.86m

Esatto! il centro di massa di un corpo non e' altro che la media pesata delle parti del corpo stesso rspetto alle loro masse, ovvero
$ \displaystyle M\bar{x}=\sum_i m_ix_i $ con M massa totale del corpo.

Per il momento angolare, il libro mi dice che: il momento angolare di un punto P rispetto al polo O è il vettore $ ~ p = \vec{OP} \times \vec{q} $
Ora se ho interpretato bene questa formula, dovrei calcolare il prodotto vettoriale del vettore OP e del vettore quantità di moto, che si ottiene moltiplicando i due vettori tra loro e poi per il seno dell'angolo compreso... ma come ottengo l'ampiezza di quell'angolo? E poi, in base a cosa scelgo il "polo O" ? Forse si riferisce al centro di massa precedentemente calcolato?

Penso che sia da calcolare rispetto all'asse di rotazione, quindi al centro della sbarra.
Dato che hai un moto rotatorio la velocita' e' perpendicolare al braccio e cosi' il seno e' pari a 1

Per quanto riguarda l'energia cinetica rotazionale, ho questa formula: $ 1/2 Iaw^2 $
Dove $ Ia $ è il momento d'inerzia e $ w^2 $ la velocità angolare al quadrato. Ma come si calcola il momento d'inerzia? Io so soltanto che dipende dalla massa e dalla forma del corpo.... insomma sono in alto mare!!

Sia L momento angolare e I momento d'inerzia, $ ~ L=I\omega $, ovvero $ ~ I=\sum_i m_ix^2_i $

PS: Come faccio ad inserire le lettere greche? E come posso tirare una linea di frazione continua e scrivere al denominatore e numeratore?

in $ ~ \LaTeX $ le lettere greche si mettono con il comando

Codice: Seleziona tutto

\nomelettera

per le lettere minuscole

Codice: Seleziona tutto

\Nomelettera

per le lettere maiuscole
es:$ ~ \lambda \Lambda\quad \gamma \Gamma $

per le frazioni il comando e'

Codice: Seleziona tutto

\frac{numeratore}{denominatore}

nel caso di frazioni e' meglio se inizi tutta la formula con \displaystyle

ricordati dei tag

Codice: Seleziona tutto

[tex][/tex]

[LordKheper]

Per il momento angolare, il libro mi dice che: il momento angolare di un punto P rispetto al polo O è il vettore $ ~ p = \vec{OP} \times \vec{q} $
Ora se ho interpretato bene questa formula, dovrei calcolare il prodotto vettoriale del vettore OP e del vettore quantità di moto, che si ottiene moltiplicando i due vettori tra loro e poi per il seno dell'angolo compreso... ma come ottengo l'ampiezza di quell'angolo? E poi, in base a cosa scelgo il "polo O" ? Forse si riferisce al centro di massa precedentemente calcolato?

Penso che sia da calcolare rispetto all'asse di rotazione, quindi al centro della sbarra.
Dato che hai un moto rotatorio la velocita' e' perpendicolare al braccio e cosi' il seno e' pari a 1

Però se lo calcolo rispetto all'asse di rotazione, poi trovo 2 valori differenti ai 2 estremi dell'asta, precisamente trovo da un alto 10 e dall'altro 4 (ps, qual'è l'unità di misura? E' proprio il concetto fisico di momento angolare che nn mi è chiaro)
Di conseguenza nn so quale dei 2 valori usare per il calcolo dell'energia cinetica rotazionale

[Pigkappa]

Per il momento angolare, il libro mi dice che: il momento angolare di un punto P rispetto al polo O è il vettore $ ~ p = \vec{OP} \times \vec{q} $
Ora se ho interpretato bene questa formula, dovrei calcolare il prodotto vettoriale del vettore OP e del vettore quantità di moto, che si ottiene moltiplicando i due vettori tra loro e poi per il seno dell'angolo compreso... ma come ottengo l'ampiezza di quell'angolo? E poi, in base a cosa scelgo il "polo O" ? Forse si riferisce al centro di massa precedentemente calcolato?

Penso che sia da calcolare rispetto all'asse di rotazione, quindi al centro della sbarra.
Dato che hai un moto rotatorio la velocita' e' perpendicolare al braccio e cosi' il seno e' pari a 1

Però se lo calcolo rispetto all'asse di rotazione, poi trovo 2 valori differenti ai 2 estremi dell'asta, precisamente trovo da un alto 10 e dall'altro 4 (ps, qual'è l'unità di misura? E' proprio il concetto fisico di momento angolare che nn mi è chiaro)
Di conseguenza nn so quale dei 2 valori usare per il calcolo dell'energia cinetica rotazionale

Quello che vuoi trovare è il momento angolare di tutto il corpo rispetto al suo centro di rotazione; è normale che se cambi il riferimento cambi il suo valore. In questo caso calcolare OP x q è fastidioso; si dimostra che il momento angolare vale anche I * w dove I è il momento di inerzia e w la velocità angolare. L'unità di misura è kg*m²/s (OP è in metri, q in kg*m/s).

In questi casi qualunque cosa si voglia calcolare (momento angolare, momento di inerzia...) si fa rispetto al centro di rotazione.

[LordKheper]

Penso che sia da calcolare rispetto all'asse di rotazione, quindi al centro della sbarra.
Dato che hai un moto rotatorio la velocita' e' perpendicolare al braccio e cosi' il seno e' pari a 1

Però se lo calcolo rispetto all'asse di rotazione, poi trovo 2 valori differenti ai 2 estremi dell'asta, precisamente trovo da un alto 10 e dall'altro 4 (ps, qual'è l'unità di misura? E' proprio il concetto fisico di momento angolare che nn mi è chiaro)
Di conseguenza nn so quale dei 2 valori usare per il calcolo dell'energia cinetica rotazionale

Quello che vuoi trovare è il momento angolare di tutto il corpo rispetto al suo centro di rotazione; è normale che se cambi il riferimento cambi il suo valore. In questo caso calcolare OP x q è fastidioso; si dimostra che il momento angolare vale anche I * w dove I è il momento di inerzia e w la velocità angolare. L'unità di misura è kg*m²/s (OP è in metri, q in kg*m/s).

In questi casi qualunque cosa si voglia calcolare (momento angolare, momento di inerzia...) si fa rispetto al centro di rotazione.

Uhm... allora, aspè, un passo alla volta altrimenti mi perdo...
Io volevo calcolare il momento angolare proprio per poter poi utilizzare quella formula e ricavarmi il momento di inerzia...
Ora calcolando il momento angolare nel modo che ho fatto prima e cioè OP x q, come faccio ad ottenere il momento angolare totale del mio sistema? Devo sommare i 2 valori trovati, fare una media o cosa?

[SkZ]

il momento angolare di un sistema e' $ ~ \vec{L}= \sum_i \vec{r}_i\times m_i\vec{v}_i $

[LordKheper]

il momento angolare di un sistema e' $ ~ \vec{L}= \sum_i \vec{r}_i\times m_i\vec{v}_i $

"m" è la massa totale del sistema?
ed "r" è la lunghezza dal punto di rotazione alla fine dell'asta, o la lunghezza totale dell'asta?

[SkZ]

il sistema e' composto da n elementi di massa $ ~ m_i $ e con raggio vettore $ ~ \vec{r}_i $ e velocita' $ ~ \vec{v}_i $

ti posto un po' di teoria che ho trovato sul Brasca:

1. Momento di inerzia di un corpo puntiforme di massa m a distamnza r dall'asse di rotazione
   $ ~ I=mr^2 $

• Momento di inerzia di un sistema materiale rispetto ad un asse qualunque passante per l'origine
  $ ~ I=\int_V \rho |\vec{r}\times \vec{u}|^2\textrm{d}V $
  ove $ ~ \vec{u} $ e' il versore dell'asse di rotazione e $ ~ \vec{r} $ e' il raggio vettore, ovvero
  $ ~ I=\sum_i m_i |\vec{r}_i\times \vec{u}|^2 $
  per sitemi composti da parti discrete.

• Momento d'inerzia rispetto ad assi paralleli
  Se $ ~ I_b $ e' il momento rispetto ad un asse passante per il baricentro e I e' quello rispetto ad un altro asse parallelo al primo a distanza d
  $ ~ I=I_b+md^2 $

[LordKheper]

il sistema e' composto da n elementi di massa $ ~ m_i $ e con raggio vettore $ ~ \vec{r}_i $ e velocita' $ ~ \vec{v}_i $

Allora vediamo se ho capito, utilizzando la formula precedente, il momento angolare del mio sistema è dato da:


$ [2*(0.5*10)] + [2*(0.2*10)] = 14 kg*m²/s $

giusto?

A questo punto posso utilizzare l'altra formula che mi hai dato precedentemente per calcolare il momento d'inerzia, e cioè se $ L =I\omega $ (dove L è il momento angolare e I il momento d'inerzia, quest'ultimo sarà uguale al momento angolare fratto la velocità angolare, e cioè $ 1,4 kg * m^2/rad $

Ho capito finalmente qualcosa o sono totalmente fuori strada?!

[SkZ]

ti sei solo dimenti cato che 10 e' il valore della velocita' radiale e non della velocita' della massa che e' 10*2 ($ ~ \vec{v}=\vec{omega}\times \vec{r} $)

[LordKheper]

ti sei solo dimenti cato che 10 e' il valore della velocita' radiale e non della velocita' della massa che e' 10*2 ($ ~ \vec{v}=\vec{omega}\times \vec{r} $)

Ahhhh giusto.... quindi il risultato è 2,8 e mi trovo col risultato che nel frattempo avevo calcolato in un altro modo e cioè $ I =\sum m r^2 $

e infatti veniva $ 2^2 *0,5 + 2^2 *0,2 = 2,8 $

Inizio a capirci qlcsa finalmente!