Retta che biseca una tangente (dal Kedlaya)

edriv · Messaggio da **edriv** » 13 ott 2006, 21:40

Da un punto O esterno alla circonferenza traccio le tangenti OA e OB. La parallela ad OB per A interseca di nuovo la circonferenza in C. La retta OC interseca di nuovo la circonferenza in E. La retta AE interseca OB in M. Dimostrare che M è il punto medio di OB.

Non è difficile, basta guardare bene il disegno.

enomis_costa88 · Messaggio da **enomis_costa88** » 14 ott 2006, 22:14

AEC, MEO e MOA triangoli sono simili (per angle chasing.. divertitevi

).
Quindi:
$ \frac{OM}{ME}=\frac{MA}{OM} $;
$ OM^2=ME*MA $

Inoltre per il teorema della tangente e della secante:
$ MB^2=ME*MA $
da cui OM=MB..

edriv · Messaggio da **edriv** » 14 ott 2006, 22:36

Ok, perfect.

La mia soluzione (dopo che mi sono ingarbugliato a dovere con tutti i rapporti, non riuscendo a vedere che $ MB = ME \cdot MA $) è questa:

Dal fatto che $ \angle MOE = \angle OAE $ segue che BO è tangente alla circonferenza per O,E,A. L'asse radicale tra questa circonferenza e quella per A,C,E è AE. Che biseca la tangente comune, BO.