Un fatto sulle ceviane

[edriv]

AD, BE, CF sono delle ceviane concorrenti sul triangolo ABC.
Scegliamo dei punti M,N,P rispettivamente su EF, FD, DE.
Dimostrare che DM, EN, FP sono concorrenti se e soltanto se AM, BN, CP sono concorrenti.

Visto che il problema è tutto proiettivo, sarebbe interessante se qualcuno riuscisse a trovare anche una soluzione proiettiva.

[EvaristeG]

Io ne propongo una proiettiva, ma visto che è estremamente semplice, inviterei gli stagisti che conoscono un po' di queste cose a non leggerla e provarci da soli.

Manda con una proiettività ABC in un equilatero e il punto di incontro di AD, BE, CF nel baricentro (puoi per il teo fond delle proiettività); qui la tesi è ovvia in quanto gli omotetici con fattore -2 di M,N,P rispetto al baricentro e le proiezioni di M,N,P su AB, BC, CA sono simmetriche rispetto al punto medio e quindi le prime concorrono se e solo se concorrono le seconde.

[EvaristeG]

UP!!

[edriv]

Up! Che poi devo proporre un problema simile, ma prima risolvete questo!

Comunque, un hint: per collegare i Ceva di un triangolo e dell'altro potreste applicare il teorema dei seni...

[enomis_costa88]

Questo per dire che no, non farei qualsiasi cosa pur di risolvere un problema..ma vendere l'anima al diavolo si

Usando le coordinate affini, spiegate quì da marco:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3312

$ E=\lambda_1( A-C)+C $
$ D=\lambda_2(C-B)+B $
$ F=\lambda_3(B-A)+A $

$ M=\lambda_4(F-E)+E $ $ =\lambda_4(\lambda_3(B-A)+A-\lambda_1(A-C)-C)+ \lambda_1(A-C)+C $
$ P=\lambda_5(\lambda_1(A-C)+C-\lambda_2(C-B)-B)+\lambda_2(C-B)+B $
$ N=\lambda_6(\lambda_2(C-B)+B-\lambda_3(B-A)-A)+\lambda_3(B-A)+A $

X appartiene al segmento A,B quindi si scrive con coordinata c=0.
$ X=\lambda_7P+(1-\lambda_7)C $
$ =\lambda_7 $ $ (\lambda_5(\lambda_1(A-C)+C-\lambda_2(C-B)-B)+\lambda_2(C-B)+B) $ $ +(1-\lambda_7)C $
$ =A(\lambda_7\lambda_5\lambda_1)+B(\lambda_7\lambda_5\lambda_2-\lambda_7\lambda_5-\lambda_7\lambda_2+\lambda_7) $
$ =A(\lambda_7\lambda_5\lambda_1)+B(1-\lambda_7\lambda_5\lambda_1) $

da cui ricavo facilmente (imponendo c=0 o equivalentemente a+b=1):
$ \lambda_7=\frac{1}{\lambda_5\lambda_1-\lambda_5+\lambda_5\lambda_2-\lambda_2+1} $

Analogamente ricavo:
$ Y=B(\lambda_8\lambda_4\lambda_3)+C(1-\lambda_8\lambda_4\lambda_3) $
$ \lambda_8=\frac{1}{\lambda_4\lambda_1-\lambda_4+\lambda_4\lambda_3-\lambda_1+1} $

$ Z=C(\lambda_9\lambda_6\lambda_2)+A(1-\lambda_9\lambda_6\lambda_2) $
$ \lambda_9=\frac{1}{\lambda_6\lambda_3-\lambda_6+\lambda_6\lambda_2-\lambda_3+1} $

Per Ceva applicato alle ceviane AD,CF,BE (tenendo conto dei rapporti tra AF e FB ecc):
$ i) \lambda_1\lambda_2\lambda_3=(1-\lambda_1)(1-\lambda_2)(1-\lambda_3) $

Le ceviane AY,CX e BZ sono concorrenti sse:
$ (\lambda_8\lambda_4\lambda_3) (\lambda_9\lambda_6\lambda_2) (\lambda_7\lambda_5\lambda_1) $ $ = (1-\lambda_7\lambda_5\lambda_1) (1-\lambda_8\lambda_4\lambda_3) (1-\lambda_9\lambda_6\lambda_2) $

ovvero dopo avere sostituito i valori di $ \lambda_7 $ ecc e pulito i denominatori:
$ \lambda_4\lambda_3\lambda_6\lambda_2\lambda_5\lambda_1 = $ $ (1-\lambda_5-\lambda_2+\lambda_5\lambda_2) (1-\lambda_1-\lambda_4+\lambda_4\lambda_1) (1-\lambda_3-\lambda_6+\lambda_3\lambda_6) $ $ =(1-\lambda_1)(1-\lambda_2)(1-\lambda_3) (1-\lambda_4)(1-\lambda_5)(1-\lambda_6) $

che in virtù della i) risulta verificata sse:
$ \lambda_4\lambda_5\lambda_6 $ $ =(1-\lambda_4)(1-\lambda_5)(1-\lambda_6) $
ovvero sse le ceviane FP,DM,NE sono concorrenti.

[edriv]

Uau, addirittura le coordinate affini!
Bene bene, per completezza aggiungo anche quella che seguiva il mio hint:
Dal fatto che At,BT,CT sono concorrenti e Ceva trigonometrico otteniamo che:
$ \displaystyle \frac{\sin \angle TAB \cdot \sin \angle TBC \cdot \sin \angle TCA}{\sin \angle TBA \cdot \sin \angle TCB \cdot \sin \angle TAC} = 1 $
Dal fatto che AR,BR,CR sono concorrenti e Ceva otteniamo che:
$ \displaystyle \frac {AF \cdot BD \cdot CE}{FB \cdot DC \cdot EA} = 1 $

Applicando in diversi modi il teorema dei seni:
$ \displaystyle \frac {EM} {\sin \angle EAM} = \frac {AM} {\sin \angle AEM} $
$ \displaystyle \frac {FM} {\sin \angle FAM} = \frac {AM} {\sin \angle AFM} $
$ \displaystyle \frac {\sin \angle AEM}{\sin \angle AFM} = \frac{AF}{AE} $
Ora, dividendo la prima per la seconda e usando la terza:
$ \displaystyle \frac {EM}{FM} \cdot \frac{\sin \angle EAM}{\sin \angle FAM} $$ \displaystyle = \frac{\sin \angle AFM}{\sin \angle AEM} = \frac {AE}{AF} $
Da cui, moltiplicando le formule come questa ottenute ciclicamente rispetto ai lati, e applicando le 2 formule ottenute sopra con ceva, otteniamo proprio la condizione di Ceva per cui DS,ES,FS sono concorrenti.