Automorfismo e stabilita' dei sottogruppi

[Catraga]

Trovare tutti i gruppi finiti (a meno di isomorfismi) tali per cui esiste un $ \phi\in Aut(G) $ avente tutti i sottogruppi propri di $ G $ non stabili. Ovvero per ogni $ e<H<G $ si ha $ H\not\subseteq\phi(H) $

ma_go spero che questo problema sia di tuo gradimento Buon lavoro!
Intanto io continuo a pensare ai derivati dei gruppi...

[ma_go]

così, a occhio e croce direi tutti i gruppi "liberi da quadrati"...
però sono ancora abbastanza in alto mare (e non c'ho pensato troppo, ancora).

una cosa, quella che ho scritto io sarebbe una "buona" caratterizzazione? o richiedi qualcosa di più specifico?

[ma_go]

allora..
per i gruppi abeliani, siamo d'accordo: tutti e soli i gruppi che vanno bene sono solo gli $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $..
nel caso non abeliano, prima o poi scriverò qualcosina sui seguenti fatti:
tutti questi gruppi hanno centro banale, non sono risolubili (quindi hanno ordine pari), si immergono in un certo $ A_n $, e sono generati dalle radici diadiche primitive (gli elementi di ordine potenza di 2, e massimale, per capirci), e questi generatori sono in numero pari.
magari provo ad indagare ancora, però...

[Catraga]

A me risulta che sono tutti e soli i gruppi abeliani elementari, ovvero:
$ \bigoplus_{i=1}^{n} \mathbb{Z}_{m_i} $

[ma_go]

da ultimi aggiornamenti, pare che siano solo le potenze dei gruppi semplici (che hanno le caratteristiche elencate, comunque).
la cosa non concorda con quanto dici tu...