Consideriamo la successione:
$ \displaystyle a_0 = \sqrt{2} $
$ \displaystyle a_{n+1} = |2a_n - 3| $
Trovare, se c'è, il limite.
Non serve nessuna tecnica strana insegnata durante la lezione. Può aiutare fare il disegno. bye
From Gobbino's lesson [successione]
From Gobbino's lesson [successione]
Problema assegnato alla fine della lezione di Massimo allo stage Senior, sulle successioni definite per ricorrenza.
Consideriamo la successione:
$ \displaystyle a_0 = \sqrt{2} $
$ \displaystyle a_{n+1} = |2a_n - 3| $
Trovare, se c'è, il limite.
Non serve nessuna tecnica strana insegnata durante la lezione. Può aiutare fare il disegno. bye
Consideriamo la successione:
$ \displaystyle a_0 = \sqrt{2} $
$ \displaystyle a_{n+1} = |2a_n - 3| $
Trovare, se c'è, il limite.
Non serve nessuna tecnica strana insegnata durante la lezione. Può aiutare fare il disegno. bye
Beh aggiungo qualche appunto su come impostare una soluzione, per chi non era presente alla lezione.
1 - come fare il disegno.
Disegnare sul piano la funzione "passo successivo", ovvero $ ~ y=f(x) = |2x-3| $ e l'identità ($ ~ y=x $).
A questo punto, il punto iniziale è: $ ~ a_0 = (\sqrt{2},0) $. Come faccio a trovare il valore successivo?
Se traccio la verticale per $ ~ a_0 $ e trovo l'intersezione con y=f(x), ottengo un punto di coordinate $ ~ (a_0, f(a_0)) $. Se traccio l'orrizzontale per questo punto e trovo l'intersezione con y=x, ottengo il punto $ ~ (f(a_0), f(a_0)) $. Quindi, prima l'ascissa era $ ~ a_0 $, ora è $ ~ a_1 $. Se procedo con queste linee, mi posso fare un'idea di come si comporta la funzione.
Ad esempio, arrivo a congetturare che i valore che $ a_n $ può assumere appartengono ad un intervallo limitato... facile da verificare.
Posso anche continuare a disegnare fino a convincermi che è caotica
2 - il limite. Poichè f è continua (e questa condizione è proprio necessaria), se la successione ha un limite l, questo deve soddisfare:
$ ~ f(l) = l $
che non è difficile da dimostrare proprio con le definizioni di limite e continuità.
Grazie a questa proprietà, riusciamo a scegliere dei "candiati" limiti.
3 - ... risolvetelo.
Può accadere che un certo a_n sia uguale ad l? Invece, se a_n è molto vicino ad l, cosa succede?
1 - come fare il disegno.
Disegnare sul piano la funzione "passo successivo", ovvero $ ~ y=f(x) = |2x-3| $ e l'identità ($ ~ y=x $).
A questo punto, il punto iniziale è: $ ~ a_0 = (\sqrt{2},0) $. Come faccio a trovare il valore successivo?
Se traccio la verticale per $ ~ a_0 $ e trovo l'intersezione con y=f(x), ottengo un punto di coordinate $ ~ (a_0, f(a_0)) $. Se traccio l'orrizzontale per questo punto e trovo l'intersezione con y=x, ottengo il punto $ ~ (f(a_0), f(a_0)) $. Quindi, prima l'ascissa era $ ~ a_0 $, ora è $ ~ a_1 $. Se procedo con queste linee, mi posso fare un'idea di come si comporta la funzione.
Ad esempio, arrivo a congetturare che i valore che $ a_n $ può assumere appartengono ad un intervallo limitato... facile da verificare.
Posso anche continuare a disegnare fino a convincermi che è caotica
2 - il limite. Poichè f è continua (e questa condizione è proprio necessaria), se la successione ha un limite l, questo deve soddisfare:
$ ~ f(l) = l $
che non è difficile da dimostrare proprio con le definizioni di limite e continuità.
Grazie a questa proprietà, riusciamo a scegliere dei "candiati" limiti.
3 - ... risolvetelo.
Può accadere che un certo a_n sia uguale ad l? Invece, se a_n è molto vicino ad l, cosa succede?