disuguaglianza

[enry90]

dimostrare che per x,y reale positivo se X^20000+Y^20001>=X^20002+y^20003
allora x^2+y^2<=2 mi scuso se non è in latex ma lo devo ancora imparare

[Ponnamperuma]

Dimostrare che, dati $ x,y \in \mathbb {R^+} $, se $ x^{20000}+y^{20001} \geq x^{20002}+y^{20003} $ allora $ x^2+y^2 \leq 2 $.

[pi_greco_quadro]

trattandosi di reali positivi, possiamo supporre $ x\geq y\Rightarrow x^2\geq y^2 $

Ora, moltiplicando ambo i lati della disuguaglianza per $ x^2+y^2 $ e raccogliendo i fattori comuni otteniamo

$ \displaystyle x^{20000}y^2+y^{20001}x^2\geq (x^{20002}+y^{20003})(x^2+y^2-1) $

Tuttavia, per la disuguaglianza di riarrangiamento, abbiamo $ \displaystyle x^{20002}+y^{20003}\geq x^{20000}y^2+y^{20001}x^2 $

Otteniamo quindi

$ \displaystyle x^{20002}+y^{20003}\geq (x^{20002}+y^{20003})(x^2+y^2-1) $

da cui $ x^2+y^2\leq 2 $