Data una circonferenza T e due punti A,B interni ad essa dimostrare che esistono solo due circonferenze passanti per A,B e tangenti a T.
PS per chi è stato allo stage..è un buon motivo per ripigliare geometria 3 in mano..
Quante mi tangono?
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enomis_costa88
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Credo di aver trovato una soluzione carina.
Lemma 1: date due rette parallele $ l $ e $ l_1 $ e due punti $ J $ e $ K $ su $ l $, esiste un'unica circonferenza passante per $ J $ e per $ K $ che sia tangente a $ l_1 $
Dimostrazione: sia $ h $ l'asse del segmento $ JK $, e sia $ M $ l'intersezione di $ h $ con $ l_1 $, allora $ M $ sarà il punto di tangenza, dal momento che il centro della circonferenza cercata appartiene a $ h $, e $ h $ è perpendicolare a $ l_1 $. E' noto che per tre punti, $ J,K,M $ passa una sola circonferenza, quindi il lemma è dimostrato.
Passo ora al problema
Suppongo per assurdo di aver trovato tre circonferenze $ T_1, T_2, T_3 $, di centri $ O_1, O_2, O_3 $ rispettivamente, passanti tutte e tre per $ A $ e per $ B $ e tangenti internamente a $ T $ nei punti $ P_1, P_2,P_3 $. Sia $ r $ il raggio di $ T $. Applico un'inversione rispetto a una circonferenza $ T' $ di raggio $ r $ e centro $ P_1 $. Questa, per le proprietà dell'inversione, mi manda $ A $ e $ B $ in due punti $ A' $ e $ B' $, manda poi $ T_1 $ in una retta $ t'_1 $ passante per $ A'B' $ , $ T $ in una retta $ t' $ parallela a $ t'_1 $, e manda $ T_2 $ e $ T_3 $ in due circonferenze distinte $ T'_2 $ e $ T'_3 $, entrambe passanti per $ A' $ e per $ B' $, ed entrambe tangenti alla retta $ t' $.
Ma poichè $ A' $ e $ B' $ appartengono a una retta $ t'_1 $ parallela a $ t' $, ci troviamo nella situazione descritta dal lemma 1, che ci dice che può esistere una sola circonferenza passante per $ A' $ e $ B' $ e tangente a $ t' $. C.V.D
Ciao! Edo
Lemma 1: date due rette parallele $ l $ e $ l_1 $ e due punti $ J $ e $ K $ su $ l $, esiste un'unica circonferenza passante per $ J $ e per $ K $ che sia tangente a $ l_1 $
Dimostrazione: sia $ h $ l'asse del segmento $ JK $, e sia $ M $ l'intersezione di $ h $ con $ l_1 $, allora $ M $ sarà il punto di tangenza, dal momento che il centro della circonferenza cercata appartiene a $ h $, e $ h $ è perpendicolare a $ l_1 $. E' noto che per tre punti, $ J,K,M $ passa una sola circonferenza, quindi il lemma è dimostrato.
Passo ora al problema
Suppongo per assurdo di aver trovato tre circonferenze $ T_1, T_2, T_3 $, di centri $ O_1, O_2, O_3 $ rispettivamente, passanti tutte e tre per $ A $ e per $ B $ e tangenti internamente a $ T $ nei punti $ P_1, P_2,P_3 $. Sia $ r $ il raggio di $ T $. Applico un'inversione rispetto a una circonferenza $ T' $ di raggio $ r $ e centro $ P_1 $. Questa, per le proprietà dell'inversione, mi manda $ A $ e $ B $ in due punti $ A' $ e $ B' $, manda poi $ T_1 $ in una retta $ t'_1 $ passante per $ A'B' $ , $ T $ in una retta $ t' $ parallela a $ t'_1 $, e manda $ T_2 $ e $ T_3 $ in due circonferenze distinte $ T'_2 $ e $ T'_3 $, entrambe passanti per $ A' $ e per $ B' $, ed entrambe tangenti alla retta $ t' $.
Ma poichè $ A' $ e $ B' $ appartengono a una retta $ t'_1 $ parallela a $ t' $, ci troviamo nella situazione descritta dal lemma 1, che ci dice che può esistere una sola circonferenza passante per $ A' $ e $ B' $ e tangente a $ t' $. C.V.D
Ciao! Edo
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enomis_costa88
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Già questa è la soluzione carina; non ho controllato maniacalmente tutti i dettagli anche perchè pure io avevo invertito (il problema è preso dal capitolo sull'inversione del Coxeter, altrimenti non so se me ne sarei accorto 
).
Piuttosto pare uno di quei fatti abbastanza intuitivi ma che si fa fatica a formalizzare, chissà se esiste una soluzione più semplice..
).Piuttosto pare uno di quei fatti abbastanza intuitivi ma che si fa fatica a formalizzare, chissà se esiste una soluzione più semplice..
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Mah, puoi sempre provare con l'analitica (intendo con i fasci di circonferenze passanti per due punti) e verificare che ne esistono solo due tangenti a T (delta=0), ma non so se si arriva a qualcosa di decente... Mi sa tanto di calcoli astronomici...enomis_costa88 ha scritto: ...chissà se esiste una soluzione più semplice..
Io avevo provato anche in un'altro modo, prima di tentare con l'inversione, lascio qui una traccia:
Chiama QR la corda di T appartenente all'asse di AB, prendi un punto mobile P che si sposta da Q a R, poni poi L, al variare di P, l'intersezione tra il raggio passante per P e la circonferenza, e chiama f(P)=LP al variare di P. Chiama poi g(P)=AP al variare di P. Allora vuoi dimostrare che esestono solo due punti X1 e X2 su QR per cui si ha f(X1)=g(X1)e f(X2)=g(X2), cioè in poche parole, dimostra con metodi dell'analisi, che la funzione h(P)=f(P)-g(P) ha due e due soli zeri.
Non ho una soluzione con questo metodo, l'ho abbandonato quando ho visto che con l'inversione si faceva un po' prima
, se vuoi provare, buona fortuna!
Bah... alla fine non riesco a formalizzare un tubo, ed è pietoso non riuscire a dimostrare le cose più evidenti!
Quindi alla fine lascio solo una traccia di quella che potrebbe essere una dimostrazione elementare, spero qualcuno riesca a concluderla.
Lemma: siano X,Y due circonferenze. Se un punto di X è interno ad Y e un punto di X è esterno ad Y, allora queste si intersecano in due punti.
La circonferenza di partenza è C, AB sono i due punti, M è il punto medio di AB.
Dimostriamo che non si sono due circonferenze con le prop. desiderate sullo stesso semipiano AB.
Sia C1 (centro O1) quella di raggio minore (che tange C in T), l'altra (C2) è di centro O2. Allora M, O1, O2 sono ordinatamente allineati (sull'asse di AB). Sia T' l'intersezione di MT con C2. Supponiamo di riuscire a dimostrare che T' è esterno a C1. (qui è il buco)
Caso 1: A,B interni a C. Allora M è interno a C (convessità del cerchio senza bordo) Se T' fosse interno a C, avremmo che anche T lo è (per convessità), ma T è sul bordo e non è interno. Quindi T' è esterno a C, mentre A è interno, e C2 passa per T' e A. Quindi, per il lemma, non è tangente a C.
Caso 2: A,B esterni a C. Funziona allo stesso modo.
Caso 3: A interno e B esterno... sempre per il lemma, è impossibile che esista una circonferenza per A e B tangente a C.
Ah, visto che ci siamo: esibire una costruzione con riga e compasso per queste circonferenze tangenti!! (visto che vi divertita con l'inversione)
Quindi alla fine lascio solo una traccia di quella che potrebbe essere una dimostrazione elementare, spero qualcuno riesca a concluderla.
Lemma: siano X,Y due circonferenze. Se un punto di X è interno ad Y e un punto di X è esterno ad Y, allora queste si intersecano in due punti.
La circonferenza di partenza è C, AB sono i due punti, M è il punto medio di AB.
Dimostriamo che non si sono due circonferenze con le prop. desiderate sullo stesso semipiano AB.
Sia C1 (centro O1) quella di raggio minore (che tange C in T), l'altra (C2) è di centro O2. Allora M, O1, O2 sono ordinatamente allineati (sull'asse di AB). Sia T' l'intersezione di MT con C2. Supponiamo di riuscire a dimostrare che T' è esterno a C1. (qui è il buco)
Caso 1: A,B interni a C. Allora M è interno a C (convessità del cerchio senza bordo) Se T' fosse interno a C, avremmo che anche T lo è (per convessità), ma T è sul bordo e non è interno. Quindi T' è esterno a C, mentre A è interno, e C2 passa per T' e A. Quindi, per il lemma, non è tangente a C.
Caso 2: A,B esterni a C. Funziona allo stesso modo.
Caso 3: A interno e B esterno... sempre per il lemma, è impossibile che esista una circonferenza per A e B tangente a C.
Ah, visto che ci siamo: esibire una costruzione con riga e compasso per queste circonferenze tangenti!! (visto che vi divertita con l'inversione
)Allora, credo che tu stia cercando di dimostrare qualcosa di errato: se ho ben capito, tu affermi che: "data r la retta passante per AB, e detti S1 e S2 i semipiani divisi da r, allora non esistono due circonferenze con le proprietà stabilite i cui centri giacciano entrambi nello stesso semipiano" E' questo che intendi dire? Attento che se è così è falso: prendi AB "abbastanza grande" e mettilo "abbastanza vicino" alla circonferenza, e vedi subito che O1 e O2 stanno dalla stessa parte di AB.Dimostriamo che non si sono due circonferenze con le prop. desiderate sullo stesso semipiano AB.
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pi_greco_quadro
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Posto qui la soluzione che ho pensato oggi pomeriggio anche se ho visto quanto il problema sia già stato ampiamente dibattuto...
Dunque supponiamo di invertire in $ A $. Ma quindi il punto $ A' $ viene mandato all'infinito, la circonferenza $ T $ viene invertita in una circonferenza $ T' $ ed il punto $ B $ va a finire in $ B' $ al di fuori di $ B' $. Quindi se consideriamo le tangenti per $ A' $ e $ B' $ a $ T' $, che sono esattamente due, ricaviamo che esse dovevano essere delle circonferenze passanti per $ A $ e $ B $ e tangenti a $ T $ prima dell'inversione. Quindi le circonferenze cercate non possono essere più di due
Dunque supponiamo di invertire in $ A $. Ma quindi il punto $ A' $ viene mandato all'infinito, la circonferenza $ T $ viene invertita in una circonferenza $ T' $ ed il punto $ B $ va a finire in $ B' $ al di fuori di $ B' $. Quindi se consideriamo le tangenti per $ A' $ e $ B' $ a $ T' $, che sono esattamente due, ricaviamo che esse dovevano essere delle circonferenze passanti per $ A $ e $ B $ e tangenti a $ T $ prima dell'inversione. Quindi le circonferenze cercate non possono essere più di due
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"Ti credevo uno stortone.. e pure vecchio.. (Lei)"
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Soluzione mista :
Sia O un punto di incontro tra la circonferenza T e la retta AB; invertiamo in O, ottenendo che la retta AB va in sè e la circonferenza T diventa una retta T' incidente con AB al di fuori del segmento AB.
Ora, le circonferenze che tangevano T e passavano per A e B non passavano per O (troppe intersezioni con una retta) e quindi rimangono circonferenze per A', B' (inversi di A,B) e tangenti a T'. In particolare i loro centri P rispettano
d(P,A)=d(P,T')
ovvero stanno su una parabola di fuoco A e direttrice T', ma stanno pure sull'asse di A'B', passando per A',B' e quindi sono al più 2, come si verifica dal sistema
$ \left\{\begin{array}{lcl}y-x^2&=&0\\ax+by+c&=&0\end{array}\right. $
che porta a $ ax+bx^2+c=0 $ che ha al più due soluzioni (e che quindi, sostituite nell'eq. della retta, danno ognuna al più un punto).
Sia O un punto di incontro tra la circonferenza T e la retta AB; invertiamo in O, ottenendo che la retta AB va in sè e la circonferenza T diventa una retta T' incidente con AB al di fuori del segmento AB.
Ora, le circonferenze che tangevano T e passavano per A e B non passavano per O (troppe intersezioni con una retta) e quindi rimangono circonferenze per A', B' (inversi di A,B) e tangenti a T'. In particolare i loro centri P rispettano
d(P,A)=d(P,T')
ovvero stanno su una parabola di fuoco A e direttrice T', ma stanno pure sull'asse di A'B', passando per A',B' e quindi sono al più 2, come si verifica dal sistema
$ \left\{\begin{array}{lcl}y-x^2&=&0\\ax+by+c&=&0\end{array}\right. $
che porta a $ ax+bx^2+c=0 $ che ha al più due soluzioni (e che quindi, sostituite nell'eq. della retta, danno ognuna al più un punto).
Uuh ho trovato una soluzione strana ma molto breve! 
Supponiamo che ci siano tre circonferenze C1,C2,C3 che tangono C in T1,T2,T3 e passano per A,B. Allora gli assi radicali delle circonferenze {C1,C2,C3,C} prese a due a due concorrono, poichè C1,C2,C3 sono coassiali su AB.
Ma l'asse radicale tra C e C1 è la tangente in T1, e così anche le altre, quindi avremmo che T1,T2,T3 concorrono! Ma da un punto posso trarre solo due tangenti a una circonferenza!
Supponiamo che ci siano tre circonferenze C1,C2,C3 che tangono C in T1,T2,T3 e passano per A,B. Allora gli assi radicali delle circonferenze {C1,C2,C3,C} prese a due a due concorrono, poichè C1,C2,C3 sono coassiali su AB.
Ma l'asse radicale tra C e C1 è la tangente in T1, e così anche le altre, quindi avremmo che T1,T2,T3 concorrono! Ma da un punto posso trarre solo due tangenti a una circonferenza!
Posto anch'io la mia:
Sia $ A' $ l'intersezione di $ AB $ con la circonferenza dalla parte di $ A $ e $ B' $ quella dalla parte di $ B $. E' facile dimostrare che per ogni arco $ A'B' $ può esistere una sola circonferenza passante per $ AB $ e tangente all'arco. Infatti dati 2 archi che passano per $ A $ e per $ B $, entrambi dalla stessa parte, uno contiene l'altro. Se uno è tangente alla circonferenza, l'altro è contenuto dal primo (e quindi è interno alla circonferenza) oppure lo contiene (e quindi seca la circonferenza).
Per dimostrare che ci sono almeno 2 circonferenze, si vede che una circonferenza di centro $ O' $ e raggio $ r' $ è tangente alla circonferenza di centro $ O $ se e solo se $ OO'+r'-r=0 $
Vediamo che questa funzione è continua al variare nei reali di $ O' $ sull'asse di $ AB $, è positiva quando $ O' $ è sulla circonferenza di centro $ O $ ed è negativa quando $ O' $ è sul segmento $ OA' $ oppure sul segmento $ OB' $ oppure su $ O $ (si verifica sempre almeno una di queste situazioni a seconda di dove passi l'asse di $ AB $). Quindi se esiste un valore in cui la funzione è negativa compreso tra 2 valori in cui la funzione è positiva, esistono almeno 2 valori in cui la funzione è nulla.
Sia $ A' $ l'intersezione di $ AB $ con la circonferenza dalla parte di $ A $ e $ B' $ quella dalla parte di $ B $. E' facile dimostrare che per ogni arco $ A'B' $ può esistere una sola circonferenza passante per $ AB $ e tangente all'arco. Infatti dati 2 archi che passano per $ A $ e per $ B $, entrambi dalla stessa parte, uno contiene l'altro. Se uno è tangente alla circonferenza, l'altro è contenuto dal primo (e quindi è interno alla circonferenza) oppure lo contiene (e quindi seca la circonferenza).
Per dimostrare che ci sono almeno 2 circonferenze, si vede che una circonferenza di centro $ O' $ e raggio $ r' $ è tangente alla circonferenza di centro $ O $ se e solo se $ OO'+r'-r=0 $
Vediamo che questa funzione è continua al variare nei reali di $ O' $ sull'asse di $ AB $, è positiva quando $ O' $ è sulla circonferenza di centro $ O $ ed è negativa quando $ O' $ è sul segmento $ OA' $ oppure sul segmento $ OB' $ oppure su $ O $ (si verifica sempre almeno una di queste situazioni a seconda di dove passi l'asse di $ AB $). Quindi se esiste un valore in cui la funzione è negativa compreso tra 2 valori in cui la funzione è positiva, esistono almeno 2 valori in cui la funzione è nulla.
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