Due problemi dal Coxeter

[Pigkappa]

1)[Scrivo il testo in inglese perchè evidentemente ho tradotto male]
Let p and q be the radii of two circles through A, touching BC at B and C respectively.
Show then p*q = R²



2)Siano ABC e A'B'C' due triangoli. Si ha AB//A'B', AC//A'C', BC//B'C'. Dimostrare che le rette AA', BB', CC' concorrono.

[jim]

Non dispongo del testo, ma suppongo che nel primo le due circonferenze debbano essere tangenti esternamente... .... O comunque non è di sicuro come l'hai scritto tu...

[enomis_costa88]

2) ABC e A'B'C' sono omotetici (con k non necessariamente positivo) quindi le rette AA', BB', CC' concorrono nel centro dell'omotetia .

[jim]

Let p and q be the radii of two circles through A, touching BC at B and C respectively.
Show then p*q = R²

Traduco in italiano, per evitare altri possibili fraintendimenti:

(Dato $ ABC $ triangolo generico) siano $ p $ e $ q $ i raggi di due circonferenze passanti per $ A $, e tangenti a $ BC $ in $ B $ e $ C $, rispettivamente.
Dimostrare che $ p\cdot q $=$ R^2 $
( dove $ R $ è il raggio della circ. circoscritta ad $ ABC $)

[Pigkappa]

Grazie per aver aggiustato la traduzione, a questo punto me lo risolvo da solo

Sia $ O_1 $ il centro della circonferenza tangente in B, $ O_2 $ il centro della circonferenza tangente in C. Si ha che il raggio $ O_2C $ è perpendicolare a BC. Perciò, essendo N il punto medio di AC e M quello di AB, si ha $ \angle O_2CN=90-\gamma,CO_2N=\gamma $, e analoghi sul lato AB. Da questo ricaviamo che $ \frac{b}{2sin\gamma}=q $, e che $ \frac{c}{2sin\beta}=p $.
Poichè $ \frac{c}{2sin\gamma}=R $, abbiamo che $ \frac{c}{2sin\gamma sin\beta}=\frac{R}{sin\beta} $, cioè, per quanto dimostrato sopra, $ \frac{R}{sin\beta}=\frac{p}{sin\gamma} $ e $ \frac{R}{sin\gamma}=\frac{q}{sin\beta} $. Moltiplicando l'una per l'altra si ottiene la tesi.