[Spezzato] Icosaedro in un ottaedro

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

semmai è il contrario...comunque vai risolvimi questo semplice quisito sulla figura nella mia firma:
detto P un punto generico dato dall'intersezione tra l'icosaedro e uno spigolo AB dell'ottaedro, dimmi i rapporti tra AB, AP e BP

p.s. ti mando un messaggio privato per il link

[MindFlyer]

E' il rapporto aureo, interessante.
Benvenuti a tutti!

[salva90]

Grazie per averlo risolto, come avrai capito la geometria è il mio punto debole.
Sto attualmente studiando vari libri per migliorarmi, ma la parte solida non la sopporto proprio! W la teoria dei numeri, perlomeno ci capisco qualcosa di piu'

[MindFlyer]

Il disegnino nella firma di Gabriel aiuta moltissimo! Non servono nemmeno conti, io l'ho fatto a mente solo guardando il disegno..

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

MMM...la sezione aurea? ma sei sicuro che è così semplice? a me vengono calcoli molto più complessi.

[SkZ]

ma la sezione aurea e' $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} $ o $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} $?
trovo costantemente fonti contraddittorie

ma P sarebbe il vertive dell'icosaedro che giace sullo spigolo dell'ottaedro?

[salva90]

Sulle schede olimpiche di Gobbino c'è scritto $ \displaystyle \frac {\sqrt{5}-1}{2} $ quindi credo che sia cosi'.$ P $ dovrebbe essere l'intersezione tra il lato dell'ottaedro e l'icosaedro, comunque ti conviene chiedere a gabriel (quello dall'username impronunciabile, via!): lui lo sa sicuramente meglio di me

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

dipende, la sezione aurea sarebbe
Perchè se noi prndiamo ad esempio un segmento aureo AC di lunghezza 1 diviso in due parti da un punto B in modo da formare la sezione aurea avrai che:

BC: AB=AB: AC


possiamo calcolare la misura dei due tratti AB e BC:

AB + BC= 1 e BC = AB*AB/AC

Quindi: BC = 1-AB e 1 - AB= AB2/1

che si risolve come equazione di secondo grado:

AB2 + AB -1= 0 AB= [-1 ±RADQ (1+4 )]/2

e si ottiene: AB=


una parte del segmento misura e l'altra 1 - . Facendo il rapporto fra queste due misure di ottiene

quindi dipende tutto da che tipo di rapporto si considera.

[SkZ]

MMM...la sezione aurea? ma sei sicuro che è così semplice? a me vengono calcoli molto più complessi.

effettivamente l'unico calcolo rilevante e' l'uso della legge del coseno dopo un paio di ragionamenti

[Marco]

Mmmmhhh... legge del coseno?

Io l'ho fatto con la tavola di salvezza dei segoni in geometria: geometria analitica!!

Siano O, A, B, C vertici dell'otta, in modo tale che OAB e OAC siano facce. Siano A', B', C' vertici dell'icosa appartenenti a OA, OB, OC rispettivamente. Inoltre incastriamo l'icosa in modo che risulti

$ $ \lambda = \frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = \frac{CC'}{OC} $

[se così non è, vuol dire che ho scelto l'incastro nel modo sbagliato. Basta ruotare l'icosa e sono a posto]

Mettiamo giù origine e assi in modo che
$ O = (0,0,1); A = (1,0,0); B = (-1,0,0); C = (0,1,0) $

Con un conticino si dimostra che
$ A' = (\lambda,0,1-\lambda); B' = (-\lambda,0,1-\lambda); C = (0,1-\lambda,\lambda) $

Calcolo $ A'B'^2 $ e $ A'C'^2 $. Questi sono spigoli del dodeca, quindi sono uguali.

Uguagliando salta fuori un polinomio di secondo grado. Una soluzione è maggiore di 1 e non va bene, perché altrimenti A' cadrebbe fuori dal segmento OA. L'altra soluzione è
$ $ \frac{3-\sqrt 5}{2} = \phi^2 $,
dove $ \phi $ è il solito rapporto aureo [per me, come per gli altri, è quello col -].

Il rapporto richiesto risulta quindi
$ $ \frac{\phi^2}{1-\phi^2} = \phi $. []

Mi postate le vostre? Grz. M.

P.S.: per un interessante corollario, click!

[SkZ]

Considero una delle faccie dell'ottaedro (che considero con spigolo di lunghezza unitaria) e chiamo A il vetice superiore, B e C i vertici dell'icosaedro che giacciono sui due spigoli che partono da A tali che AB>AC. Definisco $ ~l $la lunghezza dello spigolo dell'icosaedro.
Si vede che $ ~AC=1-AB $, che $ ~l=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}(1-AB) $ e che l'angolo $ ~\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3} $ e ovviamente $ ~BC=l $.
quindi
$ \displaystyle AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos{\frac{\pi}{3}}=BC^2 $
$ \displaystyle AB^2+(1-AB)^2-AB(1-AB)=2(1-AB)^2 $
$ \displaystyle AB^2-AB(1-AB)-(1-AB)^2=0 $
$ \displaystyle AB^2+AB-1=0 $
$ \displaystyle AB+1=\frac{1}{AB} $
quindi sezione aurea

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Io ho semplicemento uguagliato le altezze dell'ottaedro e dell'icosaedro (per altezze intendo la distanza tra due facce parallele e opposte), così facendo trovo i rapporti tra i due leti. Una volata che so i rapporti è finito perche se che ci sono due triangoli equilateri con lo stesso centro uno iscritto nell'altro, e sapendo i rapporti tra i due lati trivo anche quello fra AP e BP con pitagora.


l'altezza dell'icosaedro è: $ \displaystyle H = \frac{l_1} 2 {\frac{3 + \sqrt {5}} \sqrt3} $ mentre quella dell'ottaedro è: $ \displaystyle H = \frac{\sqrt 2} \sqrt 3 $

uguagliandole si ottiene il rapporto fra i lati:

$ \displaystyle \frac{l_2} l_1 = \frac{3 + \sqrt {5}} {2 \sqrt {2}} $


ora lavoro sualla faccia a triangolo equilatero, so che il lato della faccia dell'ottaedro è $ \displaystyle \frac{3 + \sqrt {5}} {2 \sqrt {2}} $ volte quello dell'icosaedro.
Siccome questi due triangoli sono uno iscritto nell'altro, essi hanno lo stesso centro e quindi applicando pitagora col triangolo rettangolo di ipotenusa 1/3 dell'altezza della faccia dell'ottaedro e cateto 2/3 dell'altezza della faccia dell'icosa trovo la lunghezza di MP da cui ricavo AP e BP (M è il punto medio di AB)

[MindFlyer]

Ragazzi, vi assicuro che vi state ammazzando di conti inutilmente...

Fatto noto: il rapporto tra diagonale e lato di un pentagono regolare è aureo (dimostrazione sintetica reperibile su qualunque libro di biennio scientifico).

Consideriamo un vertice V dell'ottaedro, e siano A, B, C, D i vertici dell'icosaedro che appartengono agli spigoli dell'ottaedro uscenti da V, in modo che VA=VC, VB=VD e VB>VA.

Chiaramente AC è il lato di un pentagono regolare e BD è la sua diagonale, perciò BD/AC è aureo.

Ma i triangoli VAC e VBD sono rettangoli isosceli (l'ottaedro è regolare!) quindi simili, e quindi anche VB/VA è aureo.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

certo è ovvio, direi che è la via più semplice

[fph]

ma la sezione aurea e' $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} $ o $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} $?
trovo costantemente fonti contraddittorie

È la stessa cosa: dipende da in che verso consideri il rapporto: $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} $ e $ \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} $ sono uno l'inverso dell'altro.