Siano $ a,b,c $ i soliti reali positivi.
Si dimostri che
$ \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1 $
P.S. Io l'ho trovata sulla dispensa di Hojoo Lee ed è risolta in molti modi... quindi sbizzarritevi.. la mia soluzione però non l'ho trovata sulla dispensa quindi ho una domanda da porre per garantirmi che sia giusta.. ringrazio chiunque mi risponderà.Posto in piccolo...
In questo caso, per l'omogneità della disequazione nelle tre variabili posso porre a+b+c=1? più in generale quando questo passaggio è lecito?
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pi_greco_quadro
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"Ti credevo uno stortone.. e pure vecchio.. (Lei)"
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Poiché la disuguaglianza é omogenea, posso porre $ abc=1 $. Inoltre posso trovare $ x,y,z $ reali tali che $ 2^x=a, 2^y=b, 2^z=c $. Allora la disuguaglianza si puó riscrivere come
$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2y}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2z}}} \ge 1 $
con $ x+y+z=0 $.
Calcolandone la derivata si vede immediatamente che la funzione
$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} $
é convessa, da cui per Jensen
$ \displaystyle 1/3 \left(\frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2y}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2z}}} \right) \ge $$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2(x+y+z)/3}}}=1/3 $
CVD
PS Ovviamente la risposta alla tua domanda é sí
$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2y}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2z}}} \ge 1 $
con $ x+y+z=0 $.
Calcolandone la derivata si vede immediatamente che la funzione
$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} $
é convessa, da cui per Jensen
$ \displaystyle 1/3 \left(\frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2x}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2y}}} + \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2z}}} \right) \ge $$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+2^{3-2(x+y+z)/3}}}=1/3 $
CVD
PS Ovviamente la risposta alla tua domanda é sí
Ultima modifica di Sisifo il 18 dic 2006, 15:44, modificato 1 volta in totale.
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
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Su un vecchio testo ho trovato questa soluzione:
Sia k>0 tale che $ \displaystyle \frac {a}{\sqrt {a^2+8bc}}>= \frac {a^k}{a^k+b^k+c^k} $ da cui si ottiene che $ (a^k+b^k+c^k)^2>=a^{2k-2}(a^2+8bc) $ quindi $ (a^k+b^k+c^k)^2-a^{2k}>=8a^{2k-2}bc $ per cui $ (a^k+b^k+c^k)^2-a^{2k}=(b^k+c^k)(2a^k+b^k+c^k)>=8a^{k/2}b^{3k/4}c^{3k/4} $ per la disuguaglianza AM-GM. Una buona scelta per $ k $ risulta quindi $ 4/3 $ da cui con qualche passaggio opportuno si giunge al risultato cercato.
Purtroppo tali passaggi sono omessi, in quanto presentati come ovvi.
ps: >= sta per "maggiore o uguale"
Sia k>0 tale che $ \displaystyle \frac {a}{\sqrt {a^2+8bc}}>= \frac {a^k}{a^k+b^k+c^k} $ da cui si ottiene che $ (a^k+b^k+c^k)^2>=a^{2k-2}(a^2+8bc) $ quindi $ (a^k+b^k+c^k)^2-a^{2k}>=8a^{2k-2}bc $ per cui $ (a^k+b^k+c^k)^2-a^{2k}=(b^k+c^k)(2a^k+b^k+c^k)>=8a^{k/2}b^{3k/4}c^{3k/4} $ per la disuguaglianza AM-GM. Una buona scelta per $ k $ risulta quindi $ 4/3 $ da cui con qualche passaggio opportuno si giunge al risultato cercato.
Purtroppo tali passaggi sono omessi, in quanto presentati come ovvi.
ps: >= sta per "maggiore o uguale"