Disugaglianze balcaniche

[Sisifo]

Sia ABC un triangolo e D, E, F punti su BC, CA, AB rispettivamente. Si sa inoltre che il quadrilatero AFDE é ciclico. Provare che
$ \displaystyle \frac{4 A_{FDE} } { A_{ABC} } \le \left ( \frac {EF} {AD} \right )^2 $

Fonte: Balkan 1992

[mattilgale]

Lemma (dimostrato in fondo ):
$ \frac{EF}{AD}=\frac{\sin(\angle EDF)}{\sin(\angle AED)} $

inoltre osserviamo che poiché AFDE è inscritto in una circonferenza allora
$ \angle AFD=\pi-\angle AED $ e $ \angle FAE=\pi-\angle E D F $
quindi

$ \sin(\angle AFD)=\sin(\angle AED) $ e $ \sin(\angle FAE)=\sin(\angle E D F ) $


$ \displaystyle 2|FDE|=ED\cdot EF\cdot \sin(EDF) $
$ \displaystyle 2|ABC|=2|ABD|+2|ADC|=(AB\cdot FD+AC\cdot ED)\sin(AED) $

pertanto vale la tesi se e solo se

$ \displaystyle\frac{4\cdot ED\cdot DF}{AB\cdot DF+AC\cdot ED}\leq\frac{EF}{AD} $

cioè se e solo se

$ \displaystyle \frac{\sin(EDF)}{\sin(AED)}\cdot \left(\frac{AB}{ED}+\frac{AC}{DF}\right)\geq 4 $

osserviamo che

$ \displaystyle 2|ACD|=AC\cdot ED \cdot \sin(AED) $ e anche
$ \displaystyle 2|ABC|= AC\cdot AB \codt \sin(EDF) $ pertanto

$ \displaystyle \frac{\sin(EDF)}{\sin(AED)}\cdot \frac{AB}{ED}=\frac{|ABC|}{|ACD|} $

e analogamente

$ \displaystyle \frac{\sin(EDF)}{\sin(AED)}\cdot \frac{AC}{DF}=\frac{|ABC|}{|ADB|} $

quindi la disuguaglianza da dimostrare diventa

$ \displaystyle\frac{|ABC|}{|ACD|}+\frac{|ABC|}{|ADB|}\geq 4 $

che è valida per AM-HM

poiché $ \displaystyle\frac{|ACD|}{|ABC|}+\frac{|ADB|}{|ABC|}=1 $

resta da dimostrare il lemma iniziale:

poiché AFDE è inscritto ad una circonferenza

$ \angle EAD=\angle EFD $ quindi se consideriamo i triangoli
$ AED $ e $ EDF $ per il teorema dei seni abbiamo

$ EF=\frac{\sin(EDF)ED}{\sin(EFD)} $

$ AD=\frac{\sin(AED)ED}{\sin (EAD)} $
da cui il lemma

[Sisifo]

Ok Mattia. Posto la mia, che é leggermente diversa.

Sapendo che AFDE é ciclico
$ \angle EAF = \pi - \angle FDE $
$ \angle EAD = \angle DFE $
$ \angle DAF = \angle FED $
Allora per la formula trigonometrica dell'area
$ \displaystyle \frac{A_{ABC}}{A_{DFE}}= \frac{AB\ AC}{ED\ DF} $
$ \displaystyle \frac{A_{ABC}}{A_{DFE}}= \frac{A_{CAD}}{A_{DFE}} + \frac{A_{DAB}}{A_{DFE}} = \frac{AD AC}{EF DF} + \frac{AB AD}{ED EF} = $
$ \displaystyle = \frac{AD}{EF} \left ( \frac{AB}{ED} + \frac{AC}{DF} \right) $
Cioé, per AM-GM
$ \displaystyle \frac{AB\ AC}{ED\ DF} = \frac{AD}{EF} \left ( \frac{AB}{ED} + \frac{AC}{DF} \right) \ge \frac{2AD}{EF} \sqrt{\frac{AB\ AC}{ED\ DF} } $
Da cui facilmente
$ \displaystyle \frac{A_{ABC}}{A_{DFE}}= \frac{AB\ AC}{ED\ DF} \ge 4 \left( \frac{AD}{EF} \right) ^2 $
Da cui la tesi