Integrale curvilineo

[Sosuke]

Rieccomi con un nuovo problema... e qui ci capisco ben poco.. visto che tutto mi è più chiaro con la risoluziuone di alcuni esercizi ne propongo immediatamente uno:

Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale $ \displaystyle\int_\gamma F^\rightarrow*dx^\rightarrow $ dove $ F^\rightarrow=xy i^\rightarrow + (x^2 + y^2)j^\rightarrow $ e $ \gamma $ è l'arco di curva di equazione $ x=2cos\tau $, $ y=3sin\tau $ con $ 0 \le \tau \le \displaystyle\frac{\pi}{2} $


Io ho inziato ( e poi concluso ) così:
$ \displaystyle\int_\gamma F^\rightarrow*dx^\rightarrow=\int_0^{\frac{\pi}{2}}[2cos\tau*3sin\tau+[(2cos\tau)^2+(3sin\tau)^2]]d\tau $

E' esatto o ho inventato tutto?

[SkZ]

Pre scriptum: per i vettori basta usare \vec{}

Allora abbiamo (riscrivo essezialmenre per me: mi e' piu' facile da leggere)
$ \displaystyle \int_\gamma \vec{F}\textrm{d}\vec{s} $ , $ \displaystyle \vec{F} = xy\vec{i} + (x^2+y^2)\vec{j}=(xy,x^2+y^2) $ , $ \displaystyle \gamma : (2\cos{\tau}, 3\sin{\tau}) \; \tau\in [0;\frac{\pi}{2}] $

se ben ricordo (qui i matematici vengano in aiuto) dovrebbe essere pari all'integrale della 2-forma $ ~ xy\textrm{d}x+(x^2+y^2)\textrm{d}y $ lungo $ ~ \gamma $
avendo $ ~ \textrm{d}x=-2\sin{\tau} \textrm{d}\tau \qquad \textrm{d}y = 3\cos{\tau}\textrm{d}\tau $ si ha
$ \displaystyle \int_\gamma \vec{F}\textrm{d}\vec{s} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -12\sin^2{\tau}\cos{\tau}+3(4\cos^2{\tau}+9\sin^2{\tau})\cos{\tau} \right]\textrm{d}\tau $
$ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 12\textrm{d}\sin{\tau} + 3\textrm{d}\sin^3{\tau} \right] $
spero vivamente che qualcuno piu' fresco dia conferma o smentita

[Apocalisse86]

Anche se non sono un matematico mi sembra che sia tutto corretto SkZ... e svolgendo i calcoli ottengo come risultato 13 sempre se non ho commesso errori. Cmq Sosuke tu hai solo dimenticato il dx e il dy....

[SkZ]

invece un errore c'era (un 3 di troppo)
$ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 12\textrm{d}(\sin{\tau}) + \textrm{d}(\sin^3{\tau}) \right] $

[SkZ]

altro metodo, piu' figo:
consideri $ ~ \Gamma $ circuito chiuso in $ ~\mathbb{R} $ composto da $ ~ \gamma\times \{0\} $ e da i due segmenti di assi $ ~ \{0\}\times [0;3]\times \{0\}\quad [0;2]\times \{0\}\times \{0\} $ (in pratica il "quarto" di ellisse)
si calcola $ ~ \vec{F}=(xy,x^2+y^2,0) $ (che e' in pratica la stessa cosa) su $ ~ \Gamma $ che e' pari al suo rotore calcolato sull'area racchiusa dal cammino chiuso ($ ~ \Gamma=\partial S $)
$ \displaystyle \int_{\Gamma=\partial S} \vec{F}\textrm{d}\vec{s} = \int_S \nabla\times\vec{F}\textrm{d}\vec{\sigma} $, ove $ \displaystyle \nabla\times\vec{F}= (0, 0, \frac{\textrm{d}F_y}{\textrm{d}x} - \frac{\textrm{d}F_x}{\textrm{d}y}) =(0,0, x) $
lungo l'asse delle x $ ~ \vec{F}\textrm{d}\vec{s}=0 $ mentre lungo l'asse delle y $ ~ \vec{F}\textrm{d}\vec{s}=y^2 $
fatti i calcoli viene
$ \displaystyle \int_\gamma \vec{F}\textrm{d}\vec{s} -9=4 $

PS: $ \textrm{d}\vec{\sigma} $ infinitesimo di superficie e' diretto perpendicolarmente alla superficie e il verso e' dato dalla regola della mano destra. Il valore del modulo e' pari ovviamente all'area dell'infinitesimo di superficie.

[Sosuke]

Penso che utilizzerò il metodo meno figo


Comunque vi ringrazio... dovrebbe essermi tutto chiaro... forse avrò qualche problema con il calcolo di $ dx $ e di $ dy $ (che si dovrebbero ricavare derivando x e y se ho capito bene)

[Sosuke]

A me viene $ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(15cos\tau sin^2\tau+12cos^3\tau)d\tau $

Ora dovrei riuscire a integrare...

[Sosuke]

Allora calcolo l'integrale indefinito che dovrebbe essere come segue:
$ 15\displaystyle\int cos \tau sin^2 \tau d\tau+ 12\int cos^3 \tau d\tau $

che onestamente non so integrare... devo mischiare l'integrazione persostituzione con quella per parti?

[SkZ]

$ ~ \cos^2{x}=1-\sin^2{x} \qquad \textrm{d}(\sin{x}) = \cos{x}\textrm{d}x $

[Apocalisse86]

$ 15\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos \tau sin^2 \tau d\tau $ questo è immediato infatti è della forma $ \displaystyle \int [f(x)]^{\alpha}f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} $e otteniamo quindi
$ \displaystyle 15\left[ \frac{ \sin^3\tau}{3}\right] _0^{\frac{\pi}{2}}=5 $ il secondo invece: $ \displaystyle 12\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^3 \tau d\tau $ è l'integrale di una potenza dispari di coseno che in questo caso si integra facilmente manipolando in maniera opportuna la funzione integranda. Si ha infatti che:
$ \displastyle 12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3 \tau d\tau=12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \tau \cos \tau d\tau $ ora si scrive $ \cos^2\tau $ in funzione del seno:
$ 12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2 \tau)(\cos \tau)d\tau $ effettuando la moltiplicazione e scindendo l'integrale in due applicando la proprietà della somma otteniamo:
$ \displaystyle 12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \tau d\tau=12 $ mentre $ \displaystyle -12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 \tau\cos \tau d\tau=-4 $
Sommando tutti i risultati $ 5+12-4=13 $ che è il risultato finale.

Mi auguro che i calcoli siano corretti e di non aver fatto confusione....

[SkZ]

ti e' scappato un 12: l'ultimo integrale fa -4, non $ -\frac{1}{3} $

[Apocalisse86]

Grazie SkZ ho corretto.... in effetti mi ero proprio dimenticato di moltiplicare per il -12....grazie ancora

[Sosuke]

Grazie... penso di aver capito.... in caso contrario... se si presenta un dubbio vi faccio sapere..

[Sosuke]

Ho provato a fare qualche esercizio ma ho forti dubbi sulla loro correttezza:
$ \displaystyle\int_\gamma \vec{dF}*\vec{dx} $ con $ \displaystyle\vec{F}=cos(x+y)\vec{i}+3cos(y)(sin(x))^2\vec{j}+\frac{1}{2}e^x\vec{k} $ e $ \gamma $ l'arco di curva di equazioni $ x=y=\tau $, $ z = \tau^2 $ con $ 0\le\tau\le\frac{\pi}{2} $


ecco quello che ho fatto io:
$ \displaystyle\vec{F}=(cos(x+y),3 cos(y)(sin(x))^2,\frac{1}{2}e^x) $, $ \gamma:(\tau,\tau,\tau^2) $ con $ \tau \in [0,\frac{\pi}{2}] $

Scrivo l'integrale:

$ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}[cos(\tau+\tau)+3cos(\tau)(sin(\tau))^2+\frac{1}{2}e^\tau]d\tau = $ ....

etc etc...


I calcoli non mi intewressano... il problema sta nei primi passi... grazie ancora

[SkZ]

ti sei dimenticato che $ ~\textrm{d}\vec{s}=\textrm{d}x\vec{i}+\textrm{d}y\vec{j}+ \textrm{d}z\vec{k} = (\vec{i}+\vec{j}+2\tau\vec{k})\textrm{d}\tau $