Perpendicolare e bisettrice

[Piera]

In un triangolo ABC sia AH l'altezza relativa alla base BC. Sul segmento AH si prenda un punto P. Sia inoltre R il punto di intersezione della retta per CP con AB e S il punto di intersezione della retta per BP con AC. Dimostrare che AH biseca l'angolo RHS.

[jim]

Nessuno? Daaaaiiii, che e' un classico!
Lascio un hint in bianco:

Tracciate la retta r parallela a BC passante per A e, detti T e U i punti di intersezione di HR con r e HS con r, rispettivamente, dimostrare che TUH e' isoscele

[edriv]

Oppure è anche un'applicazione di questo:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5803

[gianmaria]

Incollo la soluzione che avevo preparata, poi guarderò quella suggerita da edriv
La mia soluzione si riferisce al caso di H compreso fra B e C; altrimenti cambia qualche segno ma non la conclusione.
Siano L e K le proiezioni di R e S su AH; poniamo per comodità di scrittura BH=b, HC=c, AH=h, PH=x.
La posizione di S è caratterizzata dai due segmenti HK e KS, calcolabili notando che dalla similitudine fra KSP e BHP si deduce KS:BH=PK:PH e dalla similitudine fra HCA e KSA si ha HC:KS=AH:AK. Con le precedenti notazioni si ha quindi
KS:b=(HK-x) : x
c:KS=h: (h-HK)
Con calcoli un po’ lunghi ma facili, da questo sistema ricaviamo KS e HK e quindi il loro rapporto che è HK/KS= $ \frac{hx(b+c)}{bc(h-x)} $
I calcoli per R sono analoghi, con lo scambio fra b, c; poiché questo scambio lascia inalterato il rapporto finale, si ha HK/KS=HL/RL: i triangoli rettangoli HKS e HLR sono quindi simili avendo i cateti in proporzione e ne consegue l’eguaglianza degli angoli di cui alla tesi