IMO 1981/5

[edriv]

Si prendano tre circonferenze dello stesso raggio e passanti per un punto H. Ciascuna di esse è tangente a due lati di un triangolo ABC. Dimostrare che l'incentro di ABC e il circocentro di ABC sono allineati con H.

Ah, sarà anche un IMO5, ma stranamente non è molto difficile... quindi provateci senza timore

[darkcrystal]

Bah... ci tento anche se geometria proprio... allora, ABC è simile a O1O2O3 (poichè i lati sono tutti paralleli).
Del resto, esiste una omotetia con centro I che manda un triangolo nell'altro (infatti, i centri delle circonferenze stanno sulle bisettrici degli angoli di ABC, poichè i lati sono tangenti).
Inoltre H è equidistante dai centri e quindi è il circocentro di O1O2O3.
Perciò la similitudine di centro I manda H in O, e i tre punti sono allineati (o almeno lo spero )

Ciao!

[MindFlyer]

Esatto darkcrystal, un'omotetia conserva i circocentri (puoi dimostrarlo, se non ne sei convinto..).
[così come conserva tutti gli altri punti notevoli]