Proviamo...
Sia $ O $ il centro del circocerchio di $ ABC $.
Dunque, per come sono stati costruiti, i segmenti $ A_2A_3, B_2B_3, C_2C_3 $ sono paralleli ai lati $ BC, CA, AB $ rispettivamente e condividono i loro stessi assi. Possiamo perciò costruire il simmetrico di $ O $ rispetto al lato $ BC $, che chiameremo $ O_a $. A questo punto la circonferenza di centro $ O_a $ e raggio $ O_aB $ passerà anche per $ A_2, A_3 $. Chiamiamo tale circonferenza $ \Gamma_a $. Allo stesso modo possiamo costruire anche $ \Gamma_b $ e $ \Gamma_c $.
Costruendo i centri radicali delle circonferenze per $ A_2,B_2,C_2 $ e $ A_3,B_3,C_3 $ con $ \Gamma_a, \Gamma_b, \Gamma_c $, otteniamo tre punti. Poiché tuttavia tali punti si devono trovare sulle intersezioni delle circonferenze per $ A_2,B_2,C_2 $ e $ A_3,B_3,C_3 $, che sono due, ne consegue che due di tali centri radicali in realtà coincidono, e quindi chiamiamo tale punto $ I $. Ora, poiché anche le tre circonferenze $ \Gamma_a,\Gamma_b,\Gamma_c $ possiedono un centro radicale, necessariamente esso deve coincidere con $ I $. Quindi abbiamo ricavato che le circonferenze interne si intersecano in $ I $. A questo punto, sapendo che le circonferenze $ \Gamma_a,\Gamma_b,\Gamma_c $ rimangono fissate al variare di $ P $ all'interno di $ ABC $, ne concludiamo che tutte le circonferenze costruite secondo le istruzioni del problema passano per un punto fissato.
Uff....
