I problemi che richiedono di piastrellare l'infinito sembrano essere proprio carini!
Abbiamo a disposizione infinite (numerabili) piastrelle per ogni colore, e infiniti (numerabili) colori.
Vogliamo piastrellare i numeri naturali usando tutte le piastrelle, in modo che prendendo tutte le piastrelle di un colore, e traslandole a destra o a sinistra di un valore opportuno, riusciamo a sovrapporle esattamente a quelle di un qualsiasi altro colore.
È possibile farlo?
(Se qualcosa non fosse chiaro, faccio anche un'enunciazione più formale. Si può partizionare i naturali in una famiglia di insiemi tale che, comunque presi due insiemi A,B appartenenti alla famiglia, esiste un intero k tale che $ f: A \rightarrow B \quad f(n)=n+k $ è biiettiva?)
E i naturali, riusciremo a piastrellarli?
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Scusa se sporco la discussione con qualche domanda sulla "versione formale"... ma vorrei capire dov'è l'errore, grazie!
Intanto ho trovato qualche dimenticanza. Se aggiungo che la famiglia comprende infiniti insieme ed ogni insieme infiniti numeri, andrebbe bene?
Il "piastrellare i numeri" sarebbe "partizionare".
Il fatto che le piastrelle e i colori sono infiniti, vuol dire che partiziono i naturali in infiniti insiemi, ciascuno dei quali con infiniti elementi.
Il fatto che esiste una traslazione che porta le piastrelle sulle altre, volevo esprimerlo con "esiste una funzione biunivoca tra due insiemi della forma f(n)=n+k con k intero.
Intanto ho trovato qualche dimenticanza. Se aggiungo che la famiglia comprende infiniti insieme ed ogni insieme infiniti numeri, andrebbe bene?
Il "piastrellare i numeri" sarebbe "partizionare".
Il fatto che le piastrelle e i colori sono infiniti, vuol dire che partiziono i naturali in infiniti insiemi, ciascuno dei quali con infiniti elementi.
Il fatto che esiste una traslazione che porta le piastrelle sulle altre, volevo esprimerlo con "esiste una funzione biunivoca tra due insiemi della forma f(n)=n+k con k intero.
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Se l'errore fosse stato solo che non hai scritto "famiglia infinita di insiemi infiniti", non avrei detto che non aveva alcun senso. Avrebbe avuto senso ma sarebbe stato un problema diverso. 
Esiste una traslazione che porta A in B se e solo se esiste un k intero tale che B=A+k, ovvero x è in A se e solo se x+k è in B. Questo è il modo più diretto di dirlo.
Se poi vuoi usare l'artifizio della bigezione, devi stare attento a come lo dici. La scrittura $ f: A \rightarrow B \quad f(n)=n+k $ non è ben definita per tutti i k interi e per tutti i possibili A e B, e per questo motivo non ha sempre senso chiedersi se sia una funzione biiettiva. Con quella scrittura si indica una funzione, ma in alcuni casi non stai definendo una funzione, tutto qui.
Esiste una traslazione che porta A in B se e solo se esiste un k intero tale che B=A+k, ovvero x è in A se e solo se x+k è in B. Questo è il modo più diretto di dirlo.
Se poi vuoi usare l'artifizio della bigezione, devi stare attento a come lo dici. La scrittura $ f: A \rightarrow B \quad f(n)=n+k $ non è ben definita per tutti i k interi e per tutti i possibili A e B, e per questo motivo non ha sempre senso chiedersi se sia una funzione biiettiva. Con quella scrittura si indica una funzione, ma in alcuni casi non stai definendo una funzione, tutto qui.
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MindFlyer
Ecco una possibile soluzione:
Siano A e B gli insiemi dei naturali la cui scrittura in binario contiene delle cifre 1 rispettivamente solo nelle posizioni pari, e solo nelle posizioni dispari. A={0,1,4,5,16,17,64,65,...}, B={0,2,8,10,32,34,40,42,...}.
E' evidente che ogni naturale si può scrivere in modo unico come somma di un elemento di A ed un elemento di B.
Da ciò discende che una partizione che risolve il problema è {A+k | k appartiene a B}. Ovvero A è un insieme della partizione, e gli elementi di B sono i valori di cui bisogna traslare A per ottenere gli altri insiemi della partizione.
Siano A e B gli insiemi dei naturali la cui scrittura in binario contiene delle cifre 1 rispettivamente solo nelle posizioni pari, e solo nelle posizioni dispari. A={0,1,4,5,16,17,64,65,...}, B={0,2,8,10,32,34,40,42,...}.
E' evidente che ogni naturale si può scrivere in modo unico come somma di un elemento di A ed un elemento di B.
Da ciò discende che una partizione che risolve il problema è {A+k | k appartiene a B}. Ovvero A è un insieme della partizione, e gli elementi di B sono i valori di cui bisogna traslare A per ottenere gli altri insiemi della partizione.
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