ciao a tutti mi servirebbe una mano...
allora qualcuno sa scrivermi il teorema e la dimostrazione del teorema delle radici n-esime di un numero complesso?
però partendo da una potenza con esponente frazionario....
la premessa è infatti che noi abbiamo una w elevata alle 1/n e che z elevata alla n è =w
aiuto!!!!
ciao, forse questo andrebbe in algebra.
allora, ogni numero complesso può essere scritto in forma cartesiana:
$ z=x+yi $
o in forma polare:
$ z=\rho(\cos \alpha + \sin \alpha) $, o in breve $ z=\rho cis \alpha $,
in cui $ \rho $è detto modulo e $ \alpha $ argomento. L'argomento è definito a meno di aggiungere multipli interi di $ 2\pi $
il prodotto tra numeri complessi è un numero complesso avente per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti dei fattori.
Di qui abbiamo:
$ z^n=\rho^n cis (n\alpha) $
Radici dell'unità
I numeri $ z $ tali che $ z^n=1=cis(0) $ devono soddisfare le seguenti:
$ \rho=1 $
$ \exists k \in Z : n\alpha=2k\pi $
quindi $ \alpha $ può assumere i seguenti valori:
$ \displaystyle 0,\frac{2\pi}{n},..., \frac{2(n-1)\pi}{n} $
Quindi le radici n-esime dell'unità sono:
$ \displaystyle 1,cis(\frac{2\pi}{n}),..., cis(\frac{2(n-1)\pi}{n}) $
Oppure, detto $ \omega = cis (\frac{2\pi}{n}) $ le radici sono
$ \omega, \omega^2, ..., \omega^n $
Radici di un numero complesso
la dimostrazione è analoga alla precedente.
ciao a tutti mi servirebbe una mano...