Un esercizietto facile ma carino...
Sia $ y_n=nx-[nx] $, dove $ n \in \mathbb{N}_0 $ e $ [x] $ denota la parte intera di x.
Dimostrare che l'insieme $ \{ y_n:n=0,1,2,... \} $ è finito se e solo se x è razionale.
razionalità di x
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Ponnamperuma
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darkcrystal
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Beh, dimostriamo innanzitutto che se x è razionale allora i "residui" sono in numero limitato.
Sia $ \displaystyle x=\frac{p}{q} $. Allora il "residuo" per n e (n+q) è uguale, dato che $ n \frac{p}{q} - [n \frac{p}{q}] = (n+q) \frac{p}{q} - [(n+q) \frac{p}{q}] \Rightarrow n \frac{p}{q} - [n \frac{p}{q}] = n \frac{p}{q} + p - p - [n \frac{p}{q}] $ dato che possiamo tirar fuori p dalla parte intera (poichè è esso stesso un intero).
Pertanto, anche ammettendo che tutti i residui per 0<=n<=q siano distinti, poi sono periodici con periodo q per cui non ne troviamo nessuno nuovo (per essere più formali: se $ a \equiv b \pmod q $ allora l'a-esimo residuo e il b-esimo sono uguali)
Per quel che riguarda l'altra parte, dimostriamo che se x è irrazionale allora l'insieme è infinito: se così non fosse, esisterebbero a e b distinti tali che $ ax - [ax] = bx - [bx] \Rightarrow x(a-b) = -[bx]+[ax] $ che è assurdo perchè il membro destro è un intero e il sinistro è irrazionale...
Ciao!
Sia $ \displaystyle x=\frac{p}{q} $. Allora il "residuo" per n e (n+q) è uguale, dato che $ n \frac{p}{q} - [n \frac{p}{q}] = (n+q) \frac{p}{q} - [(n+q) \frac{p}{q}] \Rightarrow n \frac{p}{q} - [n \frac{p}{q}] = n \frac{p}{q} + p - p - [n \frac{p}{q}] $ dato che possiamo tirar fuori p dalla parte intera (poichè è esso stesso un intero).
Pertanto, anche ammettendo che tutti i residui per 0<=n<=q siano distinti, poi sono periodici con periodo q per cui non ne troviamo nessuno nuovo (per essere più formali: se $ a \equiv b \pmod q $ allora l'a-esimo residuo e il b-esimo sono uguali)
Per quel che riguarda l'altra parte, dimostriamo che se x è irrazionale allora l'insieme è infinito: se così non fosse, esisterebbero a e b distinti tali che $ ax - [ax] = bx - [bx] \Rightarrow x(a-b) = -[bx]+[ax] $ che è assurdo perchè il membro destro è un intero e il sinistro è irrazionale...
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"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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CapitanoPo
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