Abbiamo n pianeti (o lune), tutti sferici e tutti della stessa grandezza.
Su ogni pianeta, coloriamo di nero tutti i punti dai quali non si vede nessun altro pianeta.
Dimostrare che la somma di tutte le superfici colorate di nero da esattamente la superficie di un pianet.
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[Sfere... vettori... Perché Combinatoria? Spostato in Geometria. M.]
The dark side of the moons
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MindFlyer
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=2560
Purtroppo è nel vecchio forum e l'ordine dei messaggi è fuckato.
Prima di andare a vedere il link, vi consiglio di provarci da soli perché il problema è carino!
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Prima di andare a vedere il link, vi consiglio di provarci da soli perché il problema è carino!
Visto che è già stato risolto, scrivo la mia soluzione che è abbastanza diversa dalle altre nella parte finale... quindi vorrei sapere se è corretta.
Intanto considero i centri $ ~ (O_1,O_2,\ldots,O_n) $. Sia $ ~ P_1 $ un qualsiasi punto sul primo pianeta, $ ~ v = P_1 - O_1 $ il vettore che sposta il centro del suo pianeta in $ ~ P_1 $. Ora, tra i punti $ ~ (P_1, P_2, \ldots, P_n) = (O_1+v,O_2+v,\ldots,O_n+v) $, voglio dimostrare che esiste ed è unico uno che è invisibile. Se è così, esiste una traslazione che porta i punti invisibili di un pianeta sulla superficie del primo pianeta, questo per tutti i pianeti, senza sovrapposizioni e ricoprendo tutta la sfera.
Userò il lemma: presi tre pianeti e tre punti su ognuno, ottenuti traslando ciascun centro dello stesso vettore (insomma, con la stess latitudine e longitudine), ce n'è uno nascosto. È abbastanza facile da vedere, diamolo per buono.
Ora viene la parte diversa: considero i punti $ ~ (P_1,\ldots,P_n) $, dati due di questi, mettiamo P e Q, il segmento PQ interseca uno e uno solo dei loro pianeti (escludiamo le tangenti, che non danno problemi con le aree). Se PQ interseca il pianeta di Q, allora Q è invisibile da P, nell'altro caso, l'opposto.
Considerando la relazione "X è visibile dal pianeta di Y", ottengo un grafo orientato con vertici $ ~ (P_1, \ldots, P_n) $
Questo grafo ha la proprietà che, comunque presi 3 punti, esiste uno a cui arrivano 2 frecce, e uno a cui non arriva nessuna. (per il lemma sopra).
Vogliamo dimostrare per induzione che, per ogni n, un tale grafo ha un unico punto a cui arrivano tutte le frecce.
Per n=3, lo dice il lemma. Supponiamo che valga per n.
Sia P il vertice a cui arrivano n-1 frecce, Q il vertice aggiunto. Se Q manda la sua freccia a P, allora a P arrivano n frecce, cdd. Allora da P parte una freccia a Q.
Sia X un qualsiasi altro vertice. Considerando il triangolo XPQ e applicando il lemma, a Q deve arrivare una freccia anche da X. Quindi a Q arrivano frecce da ogni vertice, cdd.
L'unicità è ovvia dal fatto che, se R ed S sono due vertici a cui arrivano tutte le frecce, c'è sia una freccia da R ad S, sia una da S a R, impossibile.
Però non è vero che la somma delle aree da cui si vedono tutti gli altri pianeti è quella di un pianeta, perchè i pianeti in mezzo non danno più significato alla storia del grafo.
Intanto considero i centri $ ~ (O_1,O_2,\ldots,O_n) $. Sia $ ~ P_1 $ un qualsiasi punto sul primo pianeta, $ ~ v = P_1 - O_1 $ il vettore che sposta il centro del suo pianeta in $ ~ P_1 $. Ora, tra i punti $ ~ (P_1, P_2, \ldots, P_n) = (O_1+v,O_2+v,\ldots,O_n+v) $, voglio dimostrare che esiste ed è unico uno che è invisibile. Se è così, esiste una traslazione che porta i punti invisibili di un pianeta sulla superficie del primo pianeta, questo per tutti i pianeti, senza sovrapposizioni e ricoprendo tutta la sfera.
Userò il lemma: presi tre pianeti e tre punti su ognuno, ottenuti traslando ciascun centro dello stesso vettore (insomma, con la stess latitudine e longitudine), ce n'è uno nascosto. È abbastanza facile da vedere, diamolo per buono.
Ora viene la parte diversa: considero i punti $ ~ (P_1,\ldots,P_n) $, dati due di questi, mettiamo P e Q, il segmento PQ interseca uno e uno solo dei loro pianeti (escludiamo le tangenti, che non danno problemi con le aree). Se PQ interseca il pianeta di Q, allora Q è invisibile da P, nell'altro caso, l'opposto.
Considerando la relazione "X è visibile dal pianeta di Y", ottengo un grafo orientato con vertici $ ~ (P_1, \ldots, P_n) $
Questo grafo ha la proprietà che, comunque presi 3 punti, esiste uno a cui arrivano 2 frecce, e uno a cui non arriva nessuna. (per il lemma sopra).
Vogliamo dimostrare per induzione che, per ogni n, un tale grafo ha un unico punto a cui arrivano tutte le frecce.
Per n=3, lo dice il lemma. Supponiamo che valga per n.
Sia P il vertice a cui arrivano n-1 frecce, Q il vertice aggiunto. Se Q manda la sua freccia a P, allora a P arrivano n frecce, cdd. Allora da P parte una freccia a Q.
Sia X un qualsiasi altro vertice. Considerando il triangolo XPQ e applicando il lemma, a Q deve arrivare una freccia anche da X. Quindi a Q arrivano frecce da ogni vertice, cdd.
L'unicità è ovvia dal fatto che, se R ed S sono due vertici a cui arrivano tutte le frecce, c'è sia una freccia da R ad S, sia una da S a R, impossibile.
Però non è vero che la somma delle aree da cui si vedono tutti gli altri pianeti è quella di un pianeta, perchè i pianeti in mezzo non danno più significato alla storia del grafo.
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MindFlyer
C'è il solito errore concettuale di dire che se i punti invisibili si possono traslare su un pianeta in modo da coprirne tutta l'area senza sovrapposizioni, allora la somma delle loro aree è quella di un pianeta. Questo, senza mostrare che le zone invisibili sui singoli pianeti sono misurabili, è incompleto.